Você está em pé perfeitamente parado e dá um passo para frente. Antes do passo, seu momento era zero, depois você tem algum momento. O princípio da conservação do momento é violado neste caso? Explique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta a seguinte situação: você está em pé, parado (momento inicial igual a zero) e dá um passo para frente, resultando em um momento linear não nulo após o passo. A questão é se isso viola o princípio da conservação do momento. As informações relevantes fornecidas são: estado inicial de repouso, momento linear diferente de zero após o movimento e interação com a Terra através do contato com o chão. O problema não fornece mais nenhuma informação numérica.

Passo 2

Para entender o problema, é importante relembrar o conceito de momento linear e o princípio da conservação do momento. O momento linear de um corpo de massa m e velocidade v é definido como p = m v. A lei de conservação do momento afirma que, se o sistema considerado é isolado (ou seja, a resultante das forças externas é zero), então o momento total do sistema é constante no tempo. Matematicamente: se \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0}, então \dfrac{d}{dt}\left(\sum \vec{p}\right)=\vec{0}, o que implica que \sum \vec{p}=\text{constante}.

Passo 3

Ao dar um passo, você empurra o chão para trás com o pé, e o chão (a Terra) exerce uma força de atrito para frente sobre você. Essa força é a responsável por acelerar seu corpo e mudar seu momento. É crucial notar que a força que o chão exerce sobre você é externa ao sistema “apenas você”, mas é interna ao sistema “você + Terra”. Pela terceira lei de Newton, a força que você aplica no chão é igual e oposta à força que o chão aplica em você. Portanto:
  • Para o sistema formado somente pela pessoa: existe uma força externa (a reação do chão) que muda o momento da pessoa.
  • Para o sistema formado por pessoa+Terra: a força que a pessoa aplica na Terra e a força que a Terra aplica na pessoa são forças internas entre as partes do sistema, então não há troca de momento com um agente externo (desprezando outras forças externas). Logo, a conservação do momento deve valer para o sistema pessoa+Terra.

Passo 4

Para ilustrar a conservação do momento, considere que a pessoa tem massa m=70 kg e atinge velocidade v=1 m/s ao terminar o passo. O momento da pessoa é
p_{\text{pessoa}} = m v = 70\cdot 1 = 70\\ \text{kg}\cdot\text{m/s}.
A Terra tem massa aproximadamente M=6\times 10^{24} kg. Se o momento total inicial era zero, após a interação o momento total continua zero, logo a Terra deve ter um momento \;p_{\text{Terra}} = -p_{\text{pessoa}}. A velocidade de recuo da Terra V satisfaz
M V = - m v \quad\Rightarrow\quad V = -\dfrac{m v}{M} = -\dfrac{70}{6\times10^{24}}\\ \text{m/s}\approx -1,2\times10^{-23}\\ \text{m/s}.
Verificando, o momento total é
p_{\text{tot}} = m v + M V = 70 + M\left(-\dfrac{70}{M}\right)=0.
Isso demonstra que a soma vetorial dos momentos é zero, confirmando a conservação do momento. A razão pela qual não percebemos o recuo da Terra é porque M é imensamente maior que m, então V é desprezivelmente pequeno.

Passo 5

Em conclusão, o princípio da conservação do momento não é violado. O erro comum é considerar apenas a pessoa isoladamente e negligenciar a interação com a Terra. Ao empurrar o chão, ocorre transferência de momento: a pessoa ganha momento para frente, enquanto a Terra ganha um momento igual e oposto para trás. Como o sistema pessoa+Terra é praticamente isolado durante o curto intervalo do passo, o momento total permanece constante. Essencialmente, o ganho de momento da pessoa é compensado pelo recuo (extremamente pequeno) da Terra.

Passo 6

Observações adicionais:
  • Se o sistema considerado for apenas a pessoa, ignorando a Terra, então existem forças externas atuando, e o momento da pessoa não precisa ser conservado.
  • Em uma superfície sem atrito, tentar “dar um passo” não geraria impulso para frente, mas sim o movimento em direções opostas da pessoa e de qualquer objeto que esteja em contato (como um barco), preservando o momento total do conjunto.
  • Para resolver problemas de conservação do momento, é crucial identificar claramente o sistema, verificar se forças externas resultantes atuam ou não. Se não atuam, o momento total é conservado; caso contrário, não é conservado.

Resposta

Não — o princípio não é violado. O momento total do sistema pessoa+Terra é conservado: ao ganhar momento para frente você imprime momento igual e oposto na Terra (recuo extremamente pequeno), de modo que a soma dos momentos permanece a mesma.

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