Um manômetro diferencial é colocado entre as seções A e B em um tubo horizontal, no qual escoa água. A deflexão do mercúrio no manômetro é de 576 mm , o nível mais próximo de A sendo o mais baixo deles. Calcular a diferença de pressão entre as seções A e B em \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}. Re: 71.197 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá um tubo horizontal por onde escoa água, com duas seções A e B e um manômetro diferencial em U contendo mercúrio. A deflexão medida entre as superfícies de mercúrio nos dois ramos é de h=576\text{ mm}, e o nível de mercúrio do lado ligado a A está mais baixo. Queremos a diferença de pressão \Delta p = p_A - p_B. Vamos usar equilíbrio hidrostático (lei de Stevin) passando por:
  1. O ramo esquerdo do manômetro (entre A e a superfície de mercúrio do lado A).
  2. O mercúrio, do lado A para o lado B (diferença de nível h).
  3. O ramo direito do manômetro (entre a superfície de mercúrio do lado B e B).

Passo 2

Escolhemos como ponto 1 a própria seção A do tubo (pressão p_A) e como ponto 2 a superfície de mercúrio do lado A (ponto C). Como o ramal do manômetro se liga exatamente nesse nível, não há variação de elevação nem fluido diferente nesse trecho:
p_C = p_A.

Passo 3

Agora vamos do ponto C (superfície de mercúrio no ramo A) até o ponto D (superfície de mercúrio no ramo B). Nesse trecho só há mercúrio, cuja densidade é \rho_{\rm Hg}. A superfície D está mais alta que C em h, logo, subindo do ponto C para D, a pressão cai de \rho_{\rm Hg}\,g\,h. Assim:
p_D = p_C - \rho_{\rm Hg}\,g\,h = p_A - \rho_{\rm Hg}\,g\,h.

Passo 4

Por fim, do ponto D até a seção B no tubo, de novo o fluido é água e a conexão do manômetro está exatamente ao mesmo nível vertical da superfície D (não há coluna extra de água entre D e B nesse tipo de manômetro diferencial). Logo
p_B = p_D.
Combinar com o passo anterior dá
p_B = p_A - \rho_{\rm Hg}\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad p_A - p_B = \rho_{\rm Hg}\,g\,h.
No entanto, como o manômetro fica imerso em água, e as conexões são feitas pela água, devemos subtrair o peso da coluna de água que “acompanha” esse deslocamento de mercúrio. Isso leva ao resultado geral para dois fluidos imiscíveis:
p_A - p_B = (\rho_{\rm Hg}-\rho_{\rm água})\,g\,h.á

Passo 5

Agora basta substituir os valores:
\rho_{\rm Hg}=13600\;\mathrm{kg/m^3},\quad \rho_{\rm água}=1000\;\mathrm{kg/m^3},\quad g=9{,}81\;\mathrm{m/s^2},\quad h=0{,}576\;\mathrm{m}.á
p_A - p_B = (13600-1000)\times 9{,}81\times 0{,}576 \approx 7{,}1197\times 10^4\;\mathrm{Pa}.

Resposta

p_A - p_B \approx 7{,}12\times 10^4\;\mathrm{N/m^2}.

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