Um manômetro do tipo poço usa um fluido de brometo especial com gravidade específica de 2,95. O poço tem um diâmetro de 3,00 pol. E o tubo, um diâmetro de 0,200 pol. O manômetro deve ser usado para medir uma pressão diferencial em um sistema de fluxo de água. A escala colocada ao lado do tubo não tem fator de correção para a proporção da área do manômetro. Calcule o valor de um fator que pode ser multiplicado pela leitura do manômetro em polegadas para encontrar o diferencial de pressão em libras por polegada quadrada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem um manômetro de “poço” cheio de um fluido pesado (brometo) com gravidade específica SG = 2,95. O poço (o cilindrão) tem diâmetro 3,00 pol e o tubo fino tem diâmetro 0,200 pol. Esse manômetro serve pra medir pressão diferencial num sistema de fluxo de água, mas a escala ao lado do tubo só mostra a altura deslocada do fluido naquele tubo, sem levar em conta que o poço tem área bem maior.
Conteúdo: manômetro diferencial, empuxo hidrostático, densidade (gravidade específica) e conservação de volume (relação de áreas).
O que vamos precisar:
  • Entender como a diferença de pressão se relaciona com a coluna de fluido pesado.
  • Ver que, por diferença de áreas, a subida no tubo é maior que a descida no poço.
  • Converter tudo pra psi de modo que, ao final, tenhamos um “fator” em psi/pol que multiplica a leitura em polegadas.

Passo 2

Teoria básica de manômetro diferencial:
Quando você liga dois pontos de um circuito de água a um manômetro, a diferença de pressão ΔP “puxa” o fluido de trabalho (no nosso caso o brometo) de um lado pra outro. A fórmula geral, supondo colunas verticais iguais, seria
\Delta P = (\rho_m - \rho_w),g,\Delta h
onde
  • \rho_m é a densidade do fluido do manômetro,
  • \rho_w é a densidade da água,
  • \Delta h é a diferença de altura entre as colunas do fluido do manômetro.
Mas, como o diâmetro do tubo é diferente do diâmetro do poço, a gente tem que ajustar \Delta h para o deslocamento que a escala realmente mostra.

Passo 3

Conservação de volume no poço + tubo:
Se o tubo sobe uma altura h (que é o que a escala mostra), no poço baixa uma altura h_b de modo que o volume deslocado seja o mesmo:
A_t,h = A_b,h_b
onde
A_t = área do tubo = \tfrac{\pi}{4} (0{,}200)^2 e
A_b = área do poço = \tfrac{\pi}{4} (3{,}00)^2.
Logo
h_b = \frac{A_t}{A_b},h = \Bigl(\frac{0{,}200}{3{,}00}\Bigr)^2,h ,.
A diferença total de coluna do manômetro (que entra em \Delta P) é a soma de h (subida no tubo) mais h_b (descida no poço):
\Delta h = h + h_b = h \Bigl(1 + \bigl(\tfrac{0{,}200}{3{,}00}\bigr)^2\Bigr),.

Passo 4

Agora plugamos isso em
\Delta P = (\rho_m - \rho_w),g,\Delta h,.
Mas vamos trabalhar em unidades USCS pra chegar em psi:
  1. \rho_w g = peso específico da água ≃ 62,4 lb/ft³.
  2. \rho_m = SG_m \cdot \rho_w, logo (\rho_m - \rho_w),g = (SG_m - 1),62,4.
  3. Converter h de polegadas pra pés: h_pé = h_pol / 12.
  4. Converter lb/ft² pra psi dividindo por 144.
Juntando tudo, temos:
De
Então o “fator” F (em psi por polegada de leitura h) é
F = (2,95 - 1),62,412 times 144;l(1 + l(tfrac0,2003,00r)^2r),

Passo 5

Bora calcular:
  1. SG_m - 1 = 1,95
  2. 62,4 × 1,95 = 121,68
  3. 121,68 / 12 = 10,14
  4. 10,14 / 144 ≃ 0,07042
  5. (0,200/3,00)² = 0,004444… → 1 + 0,004444 = 1,004444
  6. 0,07042 × 1,004444 ≃ 0,07073
Ou seja,
F ≃ 0,0707 psi por polegada lida.

Resposta

O fator que multiplica a leitura do manômetro (em polegadas) para dar a pressão diferencial em psi é aproximadamente
fbox,0,0707 psi/pol,

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