Um manômetro tubo em U, cheio com mercúrio, está conectado entre dois pontos de uma tubulação. Se a leitura do manômetro for 26 mm de Hg , calcule a diferença de pressão em quilopascals entre os pontos, quando
ar, a pressão atmosférica e 20^{\circ} \mathrm{C}, com massa específica de 1,20 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, estiver escoando na tubulação.

Passo 1

O enunciado pede a diferença de pressão entre dois pontos de uma tubulação, medida por um manômetro em U cheio com mercúrio, quando a leitura do manômetro é \,26\\ \mathrm{mm} de mercúrio. Dados fornecidos e informações relevantes:
\begin{aligned} &\text{Leitura do manômetro: } h = 26\\ \mathrm{mm\;Hg} \\\ &\text{Densidade do ar (a }20^\circ\mathrm{C}): } \rho_{\text{ar}} = 1{,}20\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &\text{Manômetro cheio com mercúrio (Hg).} \\\ &\text{Precisamos encontrar } \Delta p \text{ (diferença de pressão) em kPa.} \end{aligned}
Observação: o enunciado não fornece explicitamente a massa específica do mercúrio; vou usar o valor usual aproximado \rho_{\text{Hg}} = 13600\\ \mathrm{kg/m^3}. Também usarei g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Conceito básico — Lei da hidrostática (mini-aula):
A pressão em um fluido em equilíbrio varia com a profundidade segundo a lei da hidrostática:
p = p_0 + \rho g \Delta z,
onde
\begin{aligned} & p \text{ é a pressão no ponto considerado},\\\ & p_0 \text{ é a pressão na superfície de referência},\\\ & \rho \text{ é a massa específica (densidade) do fluido},\\\ & g \text{ é a aceleração da gravidade},\\\ & \Delta z \text{ é a diferença vertical (em metros) entre os pontos}. \end{aligned}éãéãíêéíéçãéç
Isto significa que uma coluna de fluido de altura \Delta z adiciona à pressão a quantidade \rho g \Delta z.

Passo 3

Aplicando ao manômetro em U (explicação passo a passo do arranjo):
  • Nas duas colunas acima do mercúrio há ar (mesmo fluido, embora em pressões diferentes). As superfícies do mercúrio em cada braço ficam em alturas diferentes; a diferença de alturas do mercúrio é a leitura h.
  • Ao percorrer um caminho vertical do ponto A (na tubulação) até o ponto B passando pelas superfícies do ar e pelo mercúrio, as contribuições de pressão dos trechos com ar e com mercúrio determinam a diferença p_A-p_B.
  • Fazendo essa análise (é um procedimento padrão), obtém-se a fórmula correta para a diferença de pressão entre os pontos conectados por um manômetro quando o fluido superior é um gás de densidade \rho_{\text{ar}} e o manômetro é preenchido com fluido de densidade \rho_{\text{Hg}}:
\Delta p = p_A - p_B = \bigl(\rho_{\text{Hg}} - \rho_{\text{ar}}\bigr)\,g\,h.
Explicação intuitiva: a pressão diferencial sustenta o peso da coluna extra de mercúrio, mas essa coluna “desloca” uma coluna de ar acima dela; por isso aparece a diferença \rho_{\text{Hg}}-\rho_{\text{ar}}.

Passo 4

Converter unidades e listar os valores a usar:
\begin{aligned} &h = 26\\ \mathrm{mm} = 0{,}026\\ \mathrm{m},\\\ &\rho_{\text{Hg}} = 13600\\ \mathrm{kg/m^3}\\ (\text{valor padrão usado}),\\\ &\rho_{\text{ar}} = 1{,}20\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}ã

Passo 5

Calcular \Delta p em pascals usando a fórmula:
\Delta p = \bigl(\rho_{\text{Hg}} - \rho_{\text{ar}}\bigr)\,g\,h.
Substituindo os números:
\Delta p = \bigl(13600 - 1{,}20\bigr)\times 9{,}81\times 0{,}026\\ \mathrm{Pa}.
Calcule passo a passo:
\begin{aligned} &\rho_{\text{Hg}} - \rho_{\text{ar}} = 13600 - 1{,}20 = 13598{,}8\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &g\,h = 9{,}81\times 0{,}026 = 0{,}25506\\ \mathrm{m/s^2},\\\ &\Delta p = 13598{,}8 \times 0{,}25506 = 3474{,}9\\ \mathrm{Pa}\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}

Passo 6

Converter para quilopascals:
1\\ \mathrm{kPa} = 1000\\ \mathrm{Pa},
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\Delta p = \frac{3474{,}9}{1000} = 3{,}4749\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando a um número razoável de algarismos significativos (dados iniciais com dois algarismos em h e em \rho_{\text{ar}}), podemos dar o resultado como:
\Delta p \approx 3{,}48\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

\Delta p = 3{,}48\\ \mathrm{kPa}

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