1. Por que mantemos uma variável constante ao calcular a derivada parcial? Qual a interpretação geométrica e histórica desse procedimento?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, na definição de derivada parcial de uma função de várias variáveis, mantemos todas as outras variáveis fixas, e ainda pede a interpretação geométrica e um breve panorama histórico desse procedimento. O conteúdo envolvido é cálculo multivariável, mais especificamente o conceito de derivada parcial, e precisaremos da definição limite da derivada parcial, da geometria de superfícies em \mathbb{R}^3 e de um pouco de história do desenvolvimento do cálculo diferencial.

Passo 2

Começamos pela definição de derivada parcial. Seja f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x_0,y_0) é dada por
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) =\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.
Note que, no numerador, a variável y fica sempre igual a y_0. Isso significa que estamos medindo a taxa de variação de f apenas na direção do eixo x, eliminando qualquer efeito de mudanças em y. Se não mantivéssemos y constante, não estaríamos isolando a influência de x na variação de f.

Passo 3

Geometricamente, a superfície z=f(x,y) em \mathbb{R}^3 pode ser “fatiada” por planos do tipo y=y_0. Cada interseção entre a superfície e o plano y=y_0 é uma curva
\gamma_{y_0}(x) = \bigl(x,\;y_0,\;f(x,y_0)\bigr).
A derivada parcial \partial f/\partial x em (x_0,y_0) é exatamente a inclinação da reta tangente a essa curva \gamma_{y_0} no ponto \bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr). Manter y constante é a forma natural de obter o “perfil” da superfície paralelo ao eixo x.

Passo 4

Historicamente, o conceito de derivada parcial surgiu nas primeiras décadas do século XVIII, quando matemáticos como Alexis Clairaut e, sobretudo, Leonhard Euler começaram a tratar sistematicamente funções de várias variáveis. Em sua obra Institutiones calculi differentialis (1748), Euler deixou explícita a ideia de tomar o limite em uma variável enquanto as outras eram mantidas fixas, pensando em “taxas de variação parciais” aplicadas a problemas de mecânica, astronomia e termodinâmica. Assim, o método de “segurar” as demais variáveis veio da necessidade de entender como cada parâmetro contribuía isoladamente para a variação de um fenômeno multidimensional.

Resposta

Mantemos uma variável constante na derivada parcial para isolar a taxa de variação de f ao longo de apenas uma direção no domínio. Geometricamente, isso equivale a olhar para a inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção da superfície z=f(x,y) com um plano que fixa as outras variáveis. Historicamente, esse procedimento foi formalizado no século XVIII por Euler e seus contemporâneos, que precisavam estudar funções de várias variáveis de modo a entender separadamente o efeito de cada parâmetro.

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