- Por que mantemos uma variável constante ao calcular a derivada parcial? Qual a interpretação geométrica e histórica desse procedimento?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, na definição de derivada parcial de uma função de várias variáveis, mantemos todas as outras variáveis fixas, e ainda pede a interpretação geométrica e um breve panorama histórico desse procedimento. O conteúdo envolvido é cálculo multivariável, mais especificamente o conceito de derivada parcial, e precisaremos da definição limite da derivada parcial, da geometria de superfícies em
e de um pouco de história do desenvolvimento do cálculo diferencial.
Passo 2
Começamos pela definição de derivada parcial. Seja
. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é dada por
Note que, no numerador, a variável
fica sempre igual a
. Isso significa que estamos medindo a taxa de variação de
apenas na direção do eixo
, eliminando qualquer efeito de mudanças em
. Se não mantivéssemos
constante, não estaríamos isolando a influência de
na variação de
.
Passo 3
Geometricamente, a superfície
em
pode ser “fatiada” por planos do tipo
. Cada interseção entre a superfície e o plano
é uma curva
A derivada parcial
em
é exatamente a inclinação da reta tangente a essa curva
no ponto
. Manter
constante é a forma natural de obter o “perfil” da superfície paralelo ao eixo
.
Passo 4
Historicamente, o conceito de derivada parcial surgiu nas primeiras décadas do século XVIII, quando matemáticos como Alexis Clairaut e, sobretudo, Leonhard Euler começaram a tratar sistematicamente funções de várias variáveis. Em sua obra Institutiones calculi differentialis (1748), Euler deixou explícita a ideia de tomar o limite em uma variável enquanto as outras eram mantidas fixas, pensando em “taxas de variação parciais” aplicadas a problemas de mecânica, astronomia e termodinâmica. Assim, o método de “segurar” as demais variáveis veio da necessidade de entender como cada parâmetro contribuía isoladamente para a variação de um fenômeno multidimensional.
Resposta
Mantemos uma variável constante na derivada parcial para isolar a taxa de variação de
ao longo de apenas uma direção no domínio. Geometricamente, isso equivale a olhar para a inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção da superfície
com um plano que fixa as outras variáveis. Historicamente, esse procedimento foi formalizado no século XVIII por Euler e seus contemporâneos, que precisavam estudar funções de várias variáveis de modo a entender separadamente o efeito de cada parâmetro.