1. Por que a derivada direcional é definida apenas para vetores unitários? 0 que isso revela sobre o conceito de taxa de variação?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, em cálculo multivariado, a derivada direcional de uma função f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} é definida apenas para vetores unitários e o que isso revela sobre a ideia de taxa de variação. O conteúdo envolvido é a definição de derivada direcional e seu papel como taxa de variação de f ao longo de uma direção.

Passo 2

Lembrando a definição: para um ponto x\in\mathbb{R}^n e um vetor de direção u com \|u\|=1, a derivada direcional de f em x na direção u é
D_{u}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f\bigl(x+h\,u\bigr)-f(x)}{h}.
Aqui o incremento h representa o deslocamento ao longo de u medido em unidades de comprimento.

Passo 3

Se tentássemos usar um vetor v que não é unitário, digamos \|v\|=\lambda\neq1, podemos escrever v=\lambda\,u com \|u\|=1. Então
\frac{f\bigl(x+h\,v\bigr)-f(x)}{h} =\frac{f\bigl(x+(h\,\lambda)\,u\bigr)-f(x)}{h} =\lambda\;\frac{f\bigl(x+(h\,\lambda)\,u\bigr)-f(x)}{h\,\lambda}
e, ao tomar h\to0, obtemos
D_{v}f(x)=\lambda\,D_{u}f(x).
Ou seja, usar um vetor de norma diferente de 1 apenas escala o resultado da derivada direcional.

Passo 4

Definir a derivada direcional em vetores unitários normaliza essa escala: garantimos que o valor de D_{u}f(x) seja exatamente a taxa de variação de f por unidade de comprimento deslocado na direção u. Isso reforça o conceito de “taxa de variação” como sendo mudança por “um passo de tamanho um” nessa direção, sem confundir magnitude de deslocamento com intensidade da variação.

Resposta

A derivada direcional é definida apenas para vetores unitários para que seu valor represente a taxa de variação de f por unidade de comprimento na direção escolhida. Se permitíssemos vetores de norma diferente de 1, o resultado seria apenas um múltiplo da derivada direcional padrão, misturando deslocamento e variação.

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