- Por que a derivada direcional é definida apenas para vetores unitários? 0 que isso revela sobre o conceito de taxa de variação?
Passo 1
O enunciado pergunta por que, em cálculo multivariado, a derivada direcional de uma função
é definida apenas para vetores unitários e o que isso revela sobre a ideia de taxa de variação. O conteúdo envolvido é a definição de derivada direcional e seu papel como taxa de variação de
ao longo de uma direção.
Passo 2
Lembrando a definição: para um ponto
e um vetor de direção
com
, a derivada direcional de
em
na direção
é
Aqui o incremento
representa o deslocamento ao longo de
medido em unidades de comprimento.
Passo 3
Se tentássemos usar um vetor
que não é unitário, digamos
, podemos escrever
com
. Então
e, ao tomar
, obtemos
Ou seja, usar um vetor de norma diferente de 1 apenas escala o resultado da derivada direcional.
Passo 4
Definir a derivada direcional em vetores unitários normaliza essa escala: garantimos que o valor de
seja exatamente a taxa de variação de
por unidade de comprimento deslocado na direção
. Isso reforça o conceito de “taxa de variação” como sendo mudança por “um passo de tamanho um” nessa direção, sem confundir magnitude de deslocamento com intensidade da variação.
Resposta
A derivada direcional é definida apenas para vetores unitários para que seu valor represente a taxa de variação de
por unidade de comprimento na direção escolhida. Se permitíssemos vetores de norma diferente de 1, o resultado seria apenas um múltiplo da derivada direcional padrão, misturando deslocamento e variação.