Uma máquina de Carnot opera entre reservatórios às temperaturas
e
, enquanto uma segunda máquina de Carnot opera entre reservatórios mantidos a
e
. Expresse a eficiência
da terceira máquina operando entre
e
em termos das eficiências
e
das outras duas máquinas.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho. A questão diz que temos duas máquinas de Carnot:
- A primeira opera entre
(reservatório quente) e (reservatório frio) e tem eficiência . - A segunda opera entre
(quente agora) e (frio) e tem eficiência .
O que a gente quer é a eficiência
de uma máquina de Carnot que operasse direto entre
e
.
O conteúdo aqui é termodinâmica, mais exatamente eficiência de máquina de Carnot, que se define como
O conteúdo aqui é termodinâmica, mais exatamente eficiência de máquina de Carnot, que se define como
Pra resolver a gente vai usar essa fórmula e manipular umas relações de razão de temperaturas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as eficiências dadas em função das temperaturas:
Passo 3
Agora a gente quer a razão
, que sai de multiplicar as duas que já achamos:
$$\frac{T_{3}}{T_{1}} = \frac{T_{3}}{T_{2}};\frac{T_{2}}{T_{1}}
= (1 - \eta_{2}),(1 - \eta_{1}).$$
Passo 4
Com isso, a eficiência
de Carnot entre
(quente) e
(frio) é
$$\eta_{3} = 1 - \frac{T_{3}}{T_{1}}
= 1 - \bigl[(1 - \eta_{1})(1 - \eta_{2})\bigr].$$
Bastou abrir o produto:
Bastou abrir o produto:
$$\eta_{3} = 1 - \bigl(1 - \eta_{1} - \eta_{2} + \eta_{1},\eta_{2}\bigr)
= \eta_{1} + \eta_{2} - \eta_{1},\eta_{2}.$$