Uma máquina de Carnot opera entre reservatórios às temperaturas T1 e T2, enquanto uma segunda máquina de Carnot opera entre reservatórios mantidos a T2 e T3. Expresse a eficiência eta3 da terceira máquina operando entre T1 e T3 em termos das eficiências eta1 e eta2 das outras duas máquinas.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho. A questão diz que temos duas máquinas de Carnot:
  • A primeira opera entre T1 (reservatório quente) e T2 (reservatório frio) e tem eficiência eta1.
  • A segunda opera entre T2 (quente agora) e T3 (frio) e tem eficiência eta2.
O que a gente quer é a eficiência eta3 de uma máquina de Carnot que operasse direto entre T1 e T3.
O conteúdo aqui é termodinâmica, mais exatamente eficiência de máquina de Carnot, que se define como
eta = 1 - TfriaTquente
Pra resolver a gente vai usar essa fórmula e manipular umas relações de razão de temperaturas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as eficiências dadas em função das temperaturas:
eta1 = 1 - T2T1 Longrightarrow T2T1 = 1 - eta1,
eta2 = 1 - T3T2 Longrightarrow T3T2 = 1 - eta2

Passo 3

Agora a gente quer a razão dfracT3T1, que sai de multiplicar as duas que já achamos:
$$\frac{T_{3}}{T_{1}} = \frac{T_{3}}{T_{2}};\frac{T_{2}}{T_{1}}
= (1 - \eta_{2}),(1 - \eta_{1}).$$

Passo 4

Com isso, a eficiência eta3 de Carnot entre T1 (quente) e T3 (frio) é
$$\eta_{3} = 1 - \frac{T_{3}}{T_{1}}
= 1 - \bigl[(1 - \eta_{1})(1 - \eta_{2})\bigr].$$
Bastou abrir o produto:
$$\eta_{3} = 1 - \bigl(1 - \eta_{1} - \eta_{2} + \eta_{1},\eta_{2}\bigr)
= \eta_{1} + \eta_{2} - \eta_{1},\eta_{2}.$$

Resposta

boxedeta3 = eta1 + eta2 - eta1,eta2

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