Numa máquina, um gás sofre o seguinte ciclo: sua pressão permanece constante como P1 e seu volume decresce de V1 até V2, então seu volume permanece como V2 e sua pressão aumenta até P2, depois o pistão volta ao estado inicial por um processo descrito por uma reta no diagrama P-V. Se P1=1,0 times 10^5 Pa, P2=2,0 times 10^5 Pa, V1=20 cm^3 e V2=10 cm^3, qual é o trabalho realizado no ciclo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de termodinâmica onde um gás passa por um ciclo com três etapas diferentes. Precisamos calcular o trabalho realizado durante todo esse ciclo. Para isso, vamos usar conceitos de trabalho em processos termodinâmicos e analisar cada etapa do ciclo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termodinâmica. O trabalho ($ W W áéã P P çã V $):
V
No contexto de um ciclo no diagrama $ P-V $, o trabalho total realizado é a área contida pelo ciclo no diagrama.

Passo 3

Vamos analisar cada etapa do ciclo:
Processo 1 → 2: Pressão constante ($ P_1 $)
Aqui, a pressão permanece constante enquanto o volume diminui de $ V_1 $ para $ V_2 $. O trabalho realizado nesse processo é:
P1
Como $ V_2 < V_1 $, o trabalho será negativo, indicando que o trabalho foi realizado sobre o gás.
Processo 2 → 3: Volume constante ($ V_2 $)
Neste processo, o volume não muda, então não há variação de volume ($ \Delta V = 0 $). Portanto, o trabalho realizado é:
V1
Processo 3 → 1: Trajeto reto no diagrama $ P-V $
Para esse processo, a relação entre pressão e volume é linear. Podemos encontrar a equação dessa reta. Sabemos que passa pelos pontos $ (V_2, P_2) $ e $ (V_1, P_1) $.
A equação da reta é:
V2
Onde $ m $ é o coeficiente angular e $ b $ é o coeficiente linear. Calculando $ m $:
W1-2 = P1 times (V2 - V1)
Agora, encontramos $ b $ usando um dos pontos, por exemplo, $ (V_2, P_2) $:
V2 < V1
Então, a equação da reta é:
V2
O trabalho realizado nesse processo é a integral dessa equação de $ V_2 $ a $ V_1 $:
De
Calculando a integral:
W2-3 = 0
Substituindo os valores:
P-V

Resposta

O trabalho realizado no ciclo é de $ 1,5 \times 10^6 $ Joules.

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