1. Uma máquina pesando 4000 N é sustentada por duas molas, cada uma possuindo constante de rigidez de 40 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Uma força periódica de valor máximo de 150 N , é aplicada à máquina com uma frequència de 2.5 ciclos/segundo. Sabendo-se que o coeficiente de amortecimento é 1600 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, determine:
b) a resposta geral (considere as condições iniciais nulas)

Passo 1

O enunciado pede a resposta geral do sistema massa-mola amortecido forçado, com condições iniciais nulas. Vou separar claramente os dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Peso da máquina: W=4000\\ \mathrm{N}.
  • Duas molas idênticas com constante k_{\text{cada}}=40\\ \mathrm{kN/m}=40{,}000\\ \mathrm{N/m}. Portanto a rigidez equivalente é a soma:
k = k_{\text{cada}}+k_{\text{cada}} = 80{,}000\\ \mathrm{N/m}.
  • Força periódica amplitude F_0 = 150\\ \mathrm{N} e frequência f=2{,}5\\ \mathrm{Hz}. A frequência angular de excitação é
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 2{,}5 = 5\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 15{,}70796\\ \mathrm{rad/s}.
  • Coeficiente de amortecimento c = 1600\\ \mathrm{N\,s/m}.
  • Condições iniciais nulas: x(0)=0 e \dot{x}(0)=0.
Antes de resolver, converto o peso em massa:
m = \frac{W}{g} = \frac{4000}{9{,}81}\\ \mathrm{kg}\approx 407{,}749\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Escrevo a equação diferencial do movimento (modelo clássico massa-mola-amortecedor forçado). Cada termo tem um significado:
  • m\ddot{x}: inércia (massa vezes aceleração);
  • c\dot{x}: força de amortecimento proporcional à velocidade;
  • k x: força elástica linear das molas;
  • F_0\sin(\omega t): força externa periódica aplicada.
A equação é
m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + k x(t) = F_0 \sin(\omega t).
O objetivo é obter a solução geral x(t)=x_h(t)+x_p(t), onde x_h é a solução da homogênea e x_p é uma solução particular do forçamento, e então impor x(0)=0 e \dot{x}(0)=0.

Passo 3

Calculo parâmetros úteis do sistema (frequência natural, razão de amortecimento, frequência amortecida):
  • Frequência natural (não amortecida) \omega_n:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{80{,}000}{407{,}749}}\\ \mathrm{rad/s}\approx 14{,}007\\ \mathrm{rad/s}.
  • Razão de amortecimento \zeta:
\zeta=\frac{c}{2m\omega_n}=\frac{1600}{2\cdot 407{,}749\cdot 14{,}007}\approx 0{,}1401.
Observação: como 0<\zeta<1, o sistema é subamortecido (underdamped).
  • Frequência amortecida \omega_d:
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\approx 14{,}007\sqrt{1-0{,}1401^2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 13{,}87\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Solução homogênea x_h(t). Para o caso subamortecido, as raízes da característica são complexas conjugadas e a solução homogênea tem a forma
x_h(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explico por que: a parte homogênea resolve
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0,
cuja solução geral, no caso de \zeta<1, é decaimento exponencial multiplicado por harmônicos com frequência \omega_d; C_1 corresponde ao deslocamento inicial ajustado e C_2 está ligado à velocidade inicial ajustada.

Passo 5

Solução particular x_p(t) para forçamento senoidal. Adoto a forma senoidal estacionária:
x_p(t)=X\sin(\omega t-\varphi),
onde X é a amplitude estacionária (deslocamento máximo) e \varphi é o defasamento entre força e deslocamento. As fórmulas padrão (obtidas resolvendo em domínio complexo ou por tentativa e erro) são:
X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}, \qquad \varphi=\operatorname{atan2}\bigl(c\omega,\;k-m\omega^2\bigr).
Aqui \operatorname{atan2}(y,x) garante o quadrante correto do ângulo.
Calculo numérico:
  • Primeiro m\omega^2:
m\omega^2\approx 407{,}749\cdot(15{,}70796)^2\approx 100{,}608\\ \mathrm{N/m}.
  • Então k-m\omega^2 \approx 80{,}000-100{,}608 = -20{,}608\\ \mathrm{N/m}.
  • c\omega = 1600\cdot 15{,}70796\approx 25{,}132{,}74\\ \mathrm{N\,s/m}.
Agora a amplitude:
X=\frac{150}{\sqrt{(-20{,}608)^2+(25{,}132{,}74)^2}} \approx \frac{150}{32{,}504{,}7}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}004615\\ \mathrm{m}\,.
Portanto X\approx 4{,}615\\ \mathrm{mm}.
E o ângulo de fase:
\varphi=\operatorname{atan2}(25{,}132{,}74,\,-20{,}608)\approx 2{,}259\\ \mathrm{rad}\approx 129{,}4^\circ.
Logo a solução particular é
x_p(t)\approx 0{,}004615\sin\bigl(15{,}70796\,t-2{,}259\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinação das constantes C_1 e C_2 a partir das condições iniciais nulas. As condições são:
x(0)=x_h(0)+x_p(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=\dot{x}_h(0)+\dot{x}_p(0)=0.
Calculo x_p(0) e \dot{x}_p(0):
x_p(0)=X\sin(-\varphi)=-X\sin\varphi, \qquad \dot{x}_p(0)=X\omega\cos(-\varphi)=X\omega\cos\varphi.
Do x_h(0)=C_1 e da expressão de \dot{x}_h(0):
\dot{x}_h(0)=-\zeta\omega_n C_1 + \omega_d C_2.
Impondo as condições:
C_1 + x_p(0)=0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = -x_p(0)=X\sin\varphi.
-\zeta\omega_n C_1 + \omega_d C_2 + \dot{x}_p(0)=0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \frac{-\dot{x}_p(0)+\zeta\omega_n C_1}{\omega_d}.
Substituindo C_1 e os valores de x_p(0), \dot{x}_p(0):
C_1 = X\sin\varphi, \qquad C_2 = X\frac{-\omega\cos\varphi + \zeta\omega_n\sin\varphi}{\omega_d}.
Faço os cálculos numéricos finais (usando os valores já obtidos):
C_1 \approx 0{,}004615\cdot\sin(2{,}259)\approx 0{,}003567\\ \mathrm{m},
C_2 \approx 0{,}004615\cdot\frac{-15{,}70796\cos(2{,}259)+0{,}1401\cdot14{,}007\sin(2{,}259)}{13{,}87} \approx 0{,}003822\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Escrevo a solução geral final, juntando homogênea (com C_1,C_2) e particular. Em forma explícita:
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(C_1\cos(\omega_d t)+C_2\sin(\omega_d t)\bigr)+X\sin(\omega t-\varphi).
Substituindo os valores numéricos aproximados obtidos:
x(t)\approx e^{-1{,}9622\,t}\bigl(0{,}003567\cos(13{,}87\,t)+0{,}003822\sin(13{,}87\,t)\bigr) +0{,}004615\sin(15{,}70796\,t-2{,}259),
onde as unidades de x(t) são metros e t está em segundos.
Comentário final curto: a primeira parcela é a resposta transitória que decai exponencialmente com taxa \zeta\omega_n\approx 1{,}9622\\ \mathrm{s^{-1}}; a segunda parcela é a resposta estacionária forçada de amplitude X\approx 0{,}004615\\ \mathrm{m} e fase \varphi\approx 2{,}259\\ \mathrm{rad}.

Resposta

x(t)\approx e^{-1{,}9622\,t}\bigl(0{,}003567\cos(13{,}87\,t)+0{,}003822\sin(13{,}87\,t)\bigr) +0{,}004615\sin(15{,}70796\,t-2{,}259)\\ \mathrm{m}.

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