- Uma máquina pesando 4000 N é sustentada por duas molas, cada uma possuindo constante de rigidez de
. Uma força periódica de valor máximo de 150 N , é aplicada à máquina com uma frequència de 2.5 ciclos/segundo. Sabendo-se que o coeficiente de amortecimento é
, determine:
b) a resposta geral (considere as condições iniciais nulas)
Passo 1
O enunciado pede a resposta geral do sistema massa-mola amortecido forçado, com condições iniciais nulas. Vou separar claramente os dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Peso da máquina:
. - Duas molas idênticas com constante
. Portanto a rigidez equivalente é a soma:
- Força periódica amplitude
e frequência . A frequência angular de excitação é
- Coeficiente de amortecimento
. - Condições iniciais nulas:
e .
Antes de resolver, converto o peso em massa:
Passo 2
Escrevo a equação diferencial do movimento (modelo clássico massa-mola-amortecedor forçado). Cada termo tem um significado:
-
: inércia (massa vezes aceleração); -
: força de amortecimento proporcional à velocidade; -
: força elástica linear das molas; -
: força externa periódica aplicada.
A equação é
O objetivo é obter a solução geral
, onde
é a solução da homogênea e
é uma solução particular do forçamento, e então impor
e
.
Passo 3
Calculo parâmetros úteis do sistema (frequência natural, razão de amortecimento, frequência amortecida):
- Frequência natural (não amortecida)
:
- Razão de amortecimento
:
Observação: como
, o sistema é subamortecido (underdamped).
- Frequência amortecida
:
Passo 4
Solução homogênea
. Para o caso subamortecido, as raízes da característica são complexas conjugadas e a solução homogênea tem a forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explico por que: a parte homogênea resolve
cuja solução geral, no caso de
, é decaimento exponencial multiplicado por harmônicos com frequência
;
corresponde ao deslocamento inicial ajustado e
está ligado à velocidade inicial ajustada.
Passo 5
Solução particular
para forçamento senoidal. Adoto a forma senoidal estacionária:
onde
é a amplitude estacionária (deslocamento máximo) e
é o defasamento entre força e deslocamento. As fórmulas padrão (obtidas resolvendo em domínio complexo ou por tentativa e erro) são:
Aqui
garante o quadrante correto do ângulo.
Calculo numérico:
- Primeiro
:
- Então
. -
Agora a amplitude:
Portanto
.
E o ângulo de fase:
Logo a solução particular é
Passo 6
Determinação das constantes
e
a partir das condições iniciais nulas. As condições são:
Calculo
e
:
Do
e da expressão de
:
Impondo as condições:
Substituindo
e os valores de
,
:
Faço os cálculos numéricos finais (usando os valores já obtidos):
Passo 7
Escrevo a solução geral final, juntando homogênea (com
) e particular. Em forma explícita:
Substituindo os valores numéricos aproximados obtidos:
onde as unidades de
são metros e
está em segundos.
Comentário final curto: a primeira parcela é a resposta transitória que decai exponencialmente com taxa
; a segunda parcela é a resposta estacionária forçada de amplitude
e fase
.