1. Uma máquina pesando 4000 N é sustentada por duas molas, cada uma possuindo constante de rigidez de 40 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Uma força periódica de valor máximo de 150 N , é aplicada à máquina com uma frequència de 2.5 ciclos/segundo. Sabendo-se que o coeficiente de amortecimento é 1600 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}, determine:
a) a amplitude de vibração no estado estacionário do elemento

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Peso da máquina: 4000\\ \mathrm{N}.
  • Duas molas idênticas com constante de rigidez cada uma 40\\ \mathrm{kN/m}.
  • Força periódica (amplitude) aplicada: F_0=150\\ \mathrm{N}.
  • Frequência da força: f=2{,}5\\ \mathrm{Hz}.
  • Coeficiente de amortecimento viscoso: c=1600\\ \mathrm{Ns/m}.
O que se pede:
  • (a) a amplitude de vibração no estado estacionário (amplitude da resposta forçada em regime permanente).

Passo 2

Modelagem física e conversões iniciais (peguei os valores do enunciado).
  • As duas molas sustentam a máquina em paralelo, portanto a rigidez equivalente total é a soma das duas:
    k = k_1 + k_2 = 40{,}000 + 40{,}000 = 80{,}000\\ \mathrm{N/m}.
    (usei 40\\ \mathrm{kN/m}=40{,}000\\ \mathrm{N/m}.)
  • A massa da máquina m obtém-se a partir do peso W=mg. Tomando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},
    m=\frac{W}{g}=\frac{4000}{9{,}81}\\ \mathrm{kg}\approx 407{,}747\\ \mathrm{kg}.
  • A frequência angular da excitação é
    \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 2{,}5 = 5\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 15{,}707963\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Equação do movimento e fórmula da amplitude no estado estacionário — aula curtinha e prática.
  • Para um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força harmônica F(t)=F_0\sin(\omega t), a equação é
    m\ddot{x}+c\dot{x}+k x = F_0\sin(\omega t).
    Aqui x(t) é o deslocamento vertical (positiva para cima, por exemplo), \dot{x} e \ddot{x} são a velocidade e aceleração, m é a massa, c o amortecimento e k a rigidez.
  • No regime permanente a solução particular tem forma x_p(t)=X\sin(\omega t-\varphi). Substituindo e separando coeficientes obtém-se a amplitude (resultado clássico):
    X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}}.
    Explicando os termos:
    • k-m\omega^2 é a diferença entre rigidez estática e a “rigidez dinâmica” associada à inércia;
    • c\omega representa o efeito do amortecimento; ambos aparecem no denominador formando a resultante vetorial da resistência ao movimento forçado.

Passo 4

Calcular cada termo numérico que aparece na fórmula (contas feitas passo a passo para usar na prova).
  • Massa já obtida: m\approx 407{,}747\\ \mathrm{kg}.
  • Rigidez total: k=80{,}000\\ \mathrm{N/m}.
  • Frequência angular: \omega\approx 15{,}707963\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcule m\omega^2:
    \omega^2 \approx 246{,}740110, \qquad m\omega^2 \approx 407{,}747\cdot 246{,}740110 \approx 100{,}607{,}540\\ \mathrm{N/m}.
  • Calcule k-m\omega^2:
    k-m\omega^2 \approx 80{,}000 - 100{,}607{,}540 \approx -20{,}607{,}540\\ \mathrm{N/m}.
  • Calcule c\omega:
    c\omega = 1600\cdot 15{,}707963 \approx 25{,}132{,}741\\ \mathrm{N\cdot s/m\cdot s^{-1}} \\ (\text{numericamente }25{,}132{,}741).

Passo 5

Montar o denominador da fórmula e extrair a amplitude.
  • Primeiro os quadrados: (k-m\omega^2)^2 \approx ( -20{,}607{,}540 )^2 \approx 4{,}246{,}706{,}95\times 10^{8},
(c\omega)^2 \approx (25{,}132{,}741)^2 \approx 6{,}316{,}546{,}81\times 10^{8}.
  • Soma e raiz: (k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2 \approx 1{,}056{,}325{,}376{,}1,
\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2} \approx 32{,}499{,}588.
  • Agora a amplitude: X=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(c\omega)^2}} \approx \frac{150}{32{,}499{,}588}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}004615\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e unidades amigáveis (para levar à prova).
  • Em milímetros: X\approx 0{,}004615\\ \mathrm{m}=4{,}615\\ \mathrm{mm}.
  • Arredondando com razoável número de algarismos significativos: X\approx 4{,}62\\ \mathrm{mm}.
Força prática: a massa e a frequência estavam próximas da região onde a resposta poderia aumentar, mas o amortecimento c=1600 é suficientemente grande para limitar a amplitude para alguns milímetros.

Resposta

A amplitude de vibração no estado estacionário é aproximadamente 4{,}62\\ \mathrm{mm} (ou 0{,}00462\\ \mathrm{m}).

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