- Uma máquina pesando 4000 N é sustentada por duas molas, cada uma possuindo constante de rigidez de
. Uma força periódica de valor máximo de 150 N , é aplicada à máquina com uma frequència de 2.5 ciclos/segundo. Sabendo-se que o coeficiente de amortecimento é
, determine:
a) a amplitude de vibração no estado estacionário do elemento
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Peso da máquina:
. - Duas molas idênticas com constante de rigidez cada uma
. - Força periódica (amplitude) aplicada:
. - Frequência da força:
. - Coeficiente de amortecimento viscoso:
.
O que se pede:
- (a) a amplitude de vibração no estado estacionário (amplitude da resposta forçada em regime permanente).
Passo 2
Modelagem física e conversões iniciais (peguei os valores do enunciado).
-
As duas molas sustentam a máquina em paralelo, portanto a rigidez equivalente total é a soma das duas:(usei
.) -
A massa da máquina
obtém-se a partir do peso . Tomando , -
A frequência angular da excitação é
Passo 3
Equação do movimento e fórmula da amplitude no estado estacionário — aula curtinha e prática.
-
Para um sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força harmônica
, a equação é Aquié o deslocamento vertical (positiva para cima, por exemplo), e são a velocidade e aceleração, é a massa, o amortecimento e a rigidez. -
No regime permanente a solução particular tem forma
. Substituindo e separando coeficientes obtém-se a amplitude (resultado clássico): Explicando os termos:-
é a diferença entre rigidez estática e a “rigidez dinâmica” associada à inércia; -
representa o efeito do amortecimento; ambos aparecem no denominador formando a resultante vetorial da resistência ao movimento forçado.
-
Passo 4
Calcular cada termo numérico que aparece na fórmula (contas feitas passo a passo para usar na prova).
-
Massa já obtida:
. -
Rigidez total:
. -
Frequência angular:
. -
Calcule
: -
Calcule
: -
Calcule
:
Passo 5
Montar o denominador da fórmula e extrair a amplitude.
- Primeiro os quadrados:
- Soma e raiz:
- Agora a amplitude:
Passo 6
Interpretação final e unidades amigáveis (para levar à prova).
- Em milímetros:
- Arredondando com razoável número de algarismos significativos:
Força prática: a massa e a frequência estavam próximas da região onde a resposta poderia aumentar, mas o amortecimento
é suficientemente grande para limitar a amplitude para alguns milímetros.
Resposta
A amplitude de vibração no estado estacionário é aproximadamente
(ou
).