Questão 1 (5 pontos): Satélites de comunicação são colocados em uma órbita geossíncrona, isto é, em orbita circular tal que realizem uma volta completa em torno da terra em um dia sideral
e então, aparentam estar estacionários em relação ao solo. Determine (a) a altitude desses satélites acima da superficie da terra, (b) a velocidade com que eles descrevem suas órbitas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) a altitude acima da superfície da Terra dos satélites em órbita geossíncrona;
- (b) a velocidade com que esses satélites descrevem as órbitas.
Informações numéricas fornecidas e constantes que vamos usar (pego do enunciado ou valores padrão):
- Período orbital (dia sideral):
. - Raio médio da Terra:
. - Constante gravitacional vezes massa da Terra (parâmetro gravitacional):
.
Observação: converterei o período para segundos para usar unidades do SI.
Passo 2
Conceito fundamental e fórmula que usaremos (explicação didática):
- Um satélite em órbita circular está em equilíbrio entre a força gravitacional que o puxa para a Terra e a “força centrípeta” necessária para curvar seu movimento. Em forma matemática isso leva à relação entre o período
da órbita e o raio orbital (distância do centro da Terra ao satélite):
Explicando cada símbolo:
-
é o período orbital (tempo para uma volta completa) em segundos; -
é o raio da órbita, medido a partir do centro da Terra, em metros; -
é a constante gravitacional universal e é a massa da Terra; usamos o produto porque é a forma prática nos cálculos; -
é a constante geométrica 3,1415…
Essa relação é a forma de terceira lei de Kepler para órbitas de pequenos corpos em torno da Terra derivada das leis de Newton; podemos usá-la para obtera partir de .
Passo 3
Converter o período dado em horas para segundos (passo essencial para trabalhar em SI):
Passo 4
Isolar
na fórmula de Kepler e escrever a expressão prática para cálculo:
Aqui usamos a operação de raiz cúbica (
) para obter
.
Passo 5
Calcular numericamente
. Substituindo os valores numéricos:
Calculemos o numerador e o denominador passo a passo (aproximações mantidas com casas significativas razoáveis):
Portanto
Fazendo a raiz cúbica:
Passo 6
Calcular a altitude
acima da superfície da Terra:
Substituindo:
Convertendo para quilômetros (dividindo por
):
(Valor conhecido e frequentemente citado é aproximadamente
; pequenas diferenças vêm de arredondamentos e do valor preciso usado para
e
.)
Passo 7
Agora calcular a velocidade orbital
. Para órbita circular a velocidade linear pode ser obtida por
onde
é a velocidade angular
, ou alternativamente pela relação energética
As duas dão o mesmo resultado; usarei a forma
.
Substituindo os valores:
Em km/s:
Resposta
(a)
(b)
(b)