Questão 1 (5 pontos): Satélites de comunicação são colocados em uma órbita geossíncrona, isto é, em orbita circular tal que realizem uma volta completa em torno da terra em um dia sideral (23,934 \mathrm{~h}) e então, aparentam estar estacionários em relação ao solo. Determine (a) a altitude desses satélites acima da superficie da terra, (b) a velocidade com que eles descrevem suas órbitas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) a altitude acima da superfície da Terra dos satélites em órbita geossíncrona;
  • (b) a velocidade com que esses satélites descrevem as órbitas.
Informações numéricas fornecidas e constantes que vamos usar (pego do enunciado ou valores padrão):
  • Período orbital (dia sideral): T=23,934\\ \mathrm{h}.
  • Raio médio da Terra: R_E = 6,371\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Constante gravitacional vezes massa da Terra (parâmetro gravitacional): GM = 3,986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.
    Observação: converterei o período para segundos para usar unidades do SI.

Passo 2

Conceito fundamental e fórmula que usaremos (explicação didática):
  • Um satélite em órbita circular está em equilíbrio entre a força gravitacional que o puxa para a Terra e a “força centrípeta” necessária para curvar seu movimento. Em forma matemática isso leva à relação entre o período T da órbita e o raio orbital r (distância do centro da Terra ao satélite):
T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}.
Explicando cada símbolo:
  • T é o período orbital (tempo para uma volta completa) em segundos;
  • r é o raio da órbita, medido a partir do centro da Terra, em metros;
  • G é a constante gravitacional universal e M é a massa da Terra; usamos o produto GM porque é a forma prática nos cálculos;
  • \pi é a constante geométrica 3,1415…
    Essa relação é a forma de terceira lei de Kepler para órbitas de pequenos corpos em torno da Terra derivada das leis de Newton; podemos usá-la para obter r a partir de T.

Passo 3

Converter o período dado em horas para segundos (passo essencial para trabalhar em SI):
T = 23{,}934\\ \mathrm{h} = 23{,}934\times3600\\ \mathrm{s} = 86162{,}4\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Isolar r na fórmula de Kepler e escrever a expressão prática para cálculo:
r^{3}=\frac{GM\,T^{2}}{4\pi^{2}}, \qquad\text{logo}\qquad r=\left(\frac{GM\,T^{2}}{4\pi^{2}}\right)^{1/3}.
Aqui usamos a operação de raiz cúbica ( \cdot^{1/3}) para obter r.

Passo 5

Calcular numericamente r. Substituindo os valores numéricos:
GM = 3{,}986004418\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}, \qquad T = 86162{,}4\\ \mathrm{s}.
Calculemos o numerador e o denominador passo a passo (aproximações mantidas com casas significativas razoáveis):
GM\,T^{2} = 3{,}986004418\times10^{14}\times(86162{,}4)^{2}\approx 2{,}9606\times10^{24}.
4\pi^{2}\approx 39{,}4784176.
Portanto
r^{3}\approx\frac{2{,}9606\times10^{24}}{39{,}4784176}\approx 7{,}4976\times10^{22}\\ \mathrm{m^{3}}.
Fazendo a raiz cúbica:
r \approx \left(7{,}4976\times10^{22}\right)^{1/3}\approx 4{,}2164\times10^{7}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a altitude h acima da superfície da Terra:
h = r - R_E.
Substituindo:
h \approx 4{,}2164\times10^{7}\\ \mathrm{m} - 6{,}371\times10^{6}\\ \mathrm{m} = 3{,}5793\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para quilômetros (dividindo por 10^{3}):
h \approx 35{,}793\\ \mathrm{km}.
(Valor conhecido e frequentemente citado é aproximadamente 35{,}786\\ \mathrm{km}; pequenas diferenças vêm de arredondamentos e do valor preciso usado para T e GM.)

Passo 7

Agora calcular a velocidade orbital v. Para órbita circular a velocidade linear pode ser obtida por
v = \omega r,
onde \omega é a velocidade angular \omega = \dfrac{2\pi}{T}, ou alternativamente pela relação energética
v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.
As duas dão o mesmo resultado; usarei a forma v=\sqrt{GM/r}.
Substituindo os valores:
v = \sqrt{\frac{3{,}986004418\times10^{14}}{4{,}2164\times10^{7}}} \approx \sqrt{9{,}455\times10^{6}}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-2}} \approx 3{,}074{,}7\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
Em km/s:
v \approx 3{,}075\\ \mathrm{km\,s^{-1}}.

Resposta

(a) h \approx 3{,}5793\times10^{7}\\ \mathrm{m} \approx 35{,}793\\ \mathrm{km}
(b) v \approx 3{,}074{,}7\\ \mathrm{m\,s^{-1}} \approx 3{,}075\\ \mathrm{km\,s^{-1}}

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