4- Uma máquina rotativa de 500 kg possui um desbalanceamento cujo valor é de 50 \mathrm{~kg} . \mathrm{cm} e funciona a 300rpm. Avalie as duas alternativas abaixo para a definição da melhor forma de apoiar esta máquina, tendo como critério tanto a força transmitida quanto a ampitude máxima de vibração que a mesma terá em funcionamento com o desbalanceamento descrito. Considere como aceitável o valor de 0,1 para a transmissibilidade de força do apoio.
1- Isolador consistindo somente de uma mola
2- Absorvedor de choque com amortecedor de fator 0,1 e uma mola

Passo 1

O enunciado dá uma máquina de massa m=500,kg com desbalanceamento U=50,k g\cdot cm = 0{,}5,k g\cdot m, girando a 300 rpm. A frequência angular de excitação é
\omega = 2\pi\cdot\frac{300}{60} = 10\pi\\ \text{rad/s}.
O desbalanceamento gera uma força harmônica de amplitude
F_0 = U\,\omega^2 = 0{,}5\,(10\pi)^2 \approx 493\\ \text{N}.
Precisamos comparar duas soluções de apoio, usando como critérios
1. Transmissibilidade de força T = F_{\text{trans}}/F_0 exigida \le0{,}1.
2. Amplitude máxima de vibração x_{\max}.

Passo 2

Isolador só com mola (coeficiente k, sem amortecimento \zeta=0).
Para excitação por força dinâmica, a transmissibilidade é
T = \frac{1}{\bigl|1 - r^2\bigr|}, \quad r = \frac{\omega}{\omega_n}, \quad \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Requeremos T\le0{,}1, isto é
\frac{1}{\bigl|1 - r^2\bigr|}\le0{,}1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|1 - r^2\bigr|\ge10 \quad\Longrightarrow\quad r^2\ge11 \quad\Longrightarrow\quad r\ge\sqrt{11}\approx3{,}316.
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\omega_n \le \frac{\omega}{3{,}316} \quad\Longrightarrow\quad k \le m\bigl(\tfrac{\omega}{3{,}316}\bigr)^2 =500\,(9{,}474)^2\approx4{,}49\times10^4\\ \text{N/m}.
Com esse k, a amplitude de vibração é
x_{\max} = \frac{F_0/k}{r^2 - 1} = \frac{493/4,49\times10^4}{11-1} \approx1{,}1\\ \text{mm}.

Passo 3

Absorvedor com amortecedor \zeta=0{,}1 e mesma mola k.
A transmissibilidade geral é
T = \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1 - r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}.
Para T\le0{,}1 com \zeta=0{,}1 exige-se
r\ge3{,}655 \quad\Longrightarrow\quad k \le m\bigl(\tfrac{\omega}{3{,}655}\bigr)^2 \approx3{,}69\times10^4\\ \text{N/m}.
Nessas condições a amplitude resulta
x_{\max} = \frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}} \approx1{,}1\\ \text{mm}.

Passo 4

Comparando as duas soluções:
  • Apenas mola: precisa k\le4,49\times10^4,N/m, atinge T\le0,1 e x_{\max}\approx1{,}1,mm.
  • Mol a+amortecedor \zeta=0{,}1: precisa mola ainda mais macia ( k\le3,69\times10^4,N/m) para T\le0,1, e a amplitude fica praticamente a mesma \approx1{,}1,mm.
    O amortecimento praticamente não reduz a amplitude nem relaxa muito a exigência de rigidez quando já se opera em r\gg1.

Resposta

Melhor opção: 1 – Isolador consistindo somente de uma mola.

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