3- Um acelerômetro de frequência natural 1500 Hz e fator de amortecimento 0,2 é empregado para medir a vibração de um equipamento. Determine: (a) o erro percentual quando a frequência da vibração é de 750 Hz , (b) a frequência na qual este erro é considerado nulo.

Passo 1

O enunciado pede o erro percentual na medida de vibração usando um acelerômetro cujo modelo é um sistema de segunda ordem com frequência natural \,f_n=1500\text{ Hz}\, e fator de amortecimento \,\zeta=0,2. Em (a) queremos o erro percentual quando a frequência da vibração é \,f=750\text{ Hz}\,. Em (b) queremos a frequência em que esse erro é nulo. Para resolver, vamos usar a função de transferência de um sistema de segunda ordem aplicado à medição de aceleração.

Passo 2

Para um acelerômetro modelado por massa-mola-amortecedor, a razão entre a aceleração medida e a aceleração real é
H(j\omega)\;=\;\frac{a_{\rm medida}}{a_{\rm real}} \;=\;\frac{1}{\sqrt{\bigl(1-(\omega/\omega_n)^2\bigr)^2+\bigl(2\,\zeta\,(\omega/\omega_n)\bigr)^2}}
em que \omega=2\pi f e \omega_n=2\pi f_n. Definimos a razão adimensional
r \;=\;\frac{f}{f_n}\,.

Passo 3

(a) Para f=750\text{ Hz} temos
r = \frac{750}{1500} = 0,5.
Substituindo em H:
H = \frac{1}{\sqrt{\bigl(1-r^2\bigr)^2 + (2\,\zeta\,r)^2}} = \frac{1}{\sqrt{(1-0,5^2)^2 + (2\cdot0,2\cdot0,5)^2}} = \frac{1}{\sqrt{0,75^2 + 0,2^2}} = \frac{1}{\sqrt{0,5625 + 0,04}} = \frac{1}{0,776} \approx 1,289.

Passo 4

O erro percentual é dado por
\text{erro}\;=\;(H-1)\times100\% \approx (1,289 - 1)\times100\% = 28,9\%\,.

Passo 5

(b) Para que o erro seja nulo precisamos de H=1. Assim
\sqrt{\bigl(1-r^2\bigr)^2 + (2\,\zeta\,r)^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad (1-r^2)^2 + (2\,\zeta\,r)^2 = 1.
Desenvolvendo obtemos
1 -2r^2 + r^4 + 4\zeta^2 r^2 =1 \;\Longrightarrow\; r^4 + r^2(4\zeta^2 -2)=0 \;\Longrightarrow\; r^2 = 2 - 4\,\zeta^2.

Passo 6

Substituindo \zeta=0,2:
r^2 = 2 - 4\cdot0,2^2 = 2 - 0,16 = 1,84 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{1,84} \approx 1,356.
Logo a frequência em que o erro é nulo é
f = r\,f_n \approx 1,356 \times 1500\text{ Hz} \approx 2034\text{ Hz}.

Resposta

(a) \;28{,}9\%
(b) \;2034\text{ Hz}

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