Dois componentes de uma máquina são mantidos unidos por parafusos que são inicialmente apertados de forma a propiciar uma força de união inicial total de 10.000 N . As rigidezes elásticas são tais que k_{c}=2 k_{p}.
(a) Qual deveria ser a força externa de separação para causar uma diminuição da força de união para 1000 N (admita que o parafuso permaneça no regime elástico)?
R.: F e=13500 N
(b) Se esta força de separação for aplicada e removida repetidamente, quais seriam os valores das forças média e alternada atuantes nos parafusos?
R.: F m=12250 N ; F a=2250 N

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar bem claro para você não se perder):\n
  • Dados fornecidos:\n
    • A força de aperto inicial (pré-carga) é P_0 = 10000\\ \text{N}.\n
    • Queremos que, sob uma força externa de separação, a força de união (pré-carga remanescente) diminua até 1000\\ \text{N}.\n
    • As rigidezes elásticas obedecem \;k_{c}=2k_{p}, onde aqui vou chamar k_{p} a rigidez do parafuso (parafuso = “p”) e k_{c} a rigidez das peças prensadas (componentes = “c”).\n
  • Perguntas do enunciado:\n
    (a) Qual deve ser a força externa de separação F_e que faz a força de união cair para 1000\\ \text{N}, assumindo regime elástico? \n
    (b) Se essa força for aplicada e removida repetidamente (ciclicamente), quais são os valores da força média F_m e da força alternada F_a atuantes no parafuso?\n

Passo 2

Modelo físico e explicação conceitual (passo didático):\n
  • Pense no parafuso e nas peças como duas molas lineares conectadas: a mola do parafuso com rigidez k_{p} e a mola das peças com rigidez k_{c}. Quando aplicamos uma força externa que tenta separar a união, parte dessa força aumenta a tensão no parafuso e parte “consome” a compressão nas peças (isto é, reduz a força de união).\n
  • Denotemos por \Delta F_p o aumento da força no parafuso devido à carga externa, e por \Delta F_c a diminuição da força de união nas peças (positivo quando é uma redução). Essas variações estão relacionadas de duas maneiras simples e fundamentais:\n
    1. Compatibilidade de deformações (regime elástico linear): a deformação (ou deslocamento relativo) causada pelo aumento da força no parafuso é proporcional a \Delta F_p via k_{p}, e a deformação causada pela perda de compressão nas peças é proporcional a \Delta F_c via k_{c}. Como esses deslocamentos estão ligados geometricamente, obtemos\n
    \frac{\Delta F_p}{k_{p}}=\frac{\Delta F_c}{k_{c}}.\n
    1. Equilíbrio de forças externas: a força externa F_e aplicada à união é suportada pela soma do aumento de força no parafuso e da perda de força nas peças (basicamente a carga externa é repartida entre essas duas mudanças). Portanto\n
    \Delta F_p+\Delta F_c=F_e.\n
  • Essas duas equações basta combinar para achar as frações de F_e que vão para o parafuso e para as peças. Essa é uma dedução básica que você pode repetir na prova.

Passo 3

Aplicando as relações ao caso numérico (parte a):\n
  • Primeiro calcule a variação necessária na força de união nas peças: a força de união inicial é P_0=10000\\ \text{N} e queremos que caia para 1000\\ \text{N}. Logo a diminuição é\n
\Delta F_c = P_0 - 1000\\ \text{N} = 10000-1000 = 9000\\ \text{N}.\n
  • Usando a compatibilidade de deformações \dfrac{\Delta F_p}{k_{p}}=\dfrac{\Delta F_c}{k_{c}} e a relação das rigidezes k_{c}=2k_{p}, temos\n
\frac{\Delta F_p}{k_{p}}=\frac{9000}{k_{c}}=\frac{9000}{2k_{p}} \quad\Rightarrow\quad \Delta F_p = \frac{9000}{2}=4500\\ \text{N}.\n
  • Agora use o equilíbrio \Delta F_p+\Delta F_c=F_e para obter F_e:\n
F_e = \Delta F_p+\Delta F_c = 4500+9000 = 13500\\ \text{N}.\n
  • Conclusão da parte (a): a força externa necessária é F_e=13500\\ \text{N} (isto está de acordo com o resultado esperado).

Passo 4

Interpretação física rápida (ajuda para memorização):\n
  • Com k_{c}=2k_{p} a peça é mais rígida que o parafuso; portanto, ao puxar, as peças “cego” (perdem mais força) do que o parafuso aumenta — de fato aqui \Delta F_c=9000\\ \text{N} e \Delta F_p=4500\\ \text{N}. Note que \Delta F_p+\Delta F_c=F_e, então a conta fecha.

Passo 5

Cálculo da força média e alternada quando F_e é aplicada e removida ciclicamente (parte b):\n
  • Forças nos dois estados extremos:\n
    • Estado sem carga externa: força no parafuso é simplesmente a pré-carga P_{\min}=P_0=10000\\ \text{N}.\n - Estado com carga externa \(F_e aplicada: força no parafuso aumenta em \Delta F_p=4500\\ \text{N}, então P_{\max}=P_0+\Delta F_p=10000+4500=14500\\ \text{N}.\n - Definições (úteis para a prova):\n - Força média \(F_m é a média dos valores máximo e mínimo:\n
    F_m=\frac{P_{\max}+P_{\min}}{2}.\n
    • Força alternada F_a (amplitude) é metade da diferença entre máximo e mínimo:\n
    F_a=\frac{P_{\max}-P_{\min}}{2}.\n
  • Calcule agora numericamente:\n
F_m=\frac{14500+10000}{2}= \frac{24500}{2}=12250\\ \text{N},\n
F_a=\frac{14500-10000}{2}=\frac{4500}{2}=2250\\ \text{N}.)

Resposta

F_e=13500\\ \text{N}\n
F_m=12250\\ \text{N}\n
F_a=2250\\ \text{N}

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