Uma máquina tem frequência de ressonância em 400 rpm quando suportada por 4 molas de aço para as quais sigma fator de amortecimento pode ser desprezado. Em 1200 rpm a amplitude do movimento é 0,5 mm. Qual a amplitude do movimento se as quatro molas são trocadas por 4 isoladores de borracha com fator de amortecimento igual a 0,25. A freqüência de ressonância não é alterada.

Passo 1

O enunciado trata de uma máquina em vibração forçada com frequência de ressonância omegan correspondente a 400 rpm. Inicialmente usa-se amortecimento desprezível ( zetaapprox0) e, a 1200 rpm, a amplitude do regime permanente é X0=0,5 mm. Depois trocam-se as molas por isoladores de borracha com fator de amortecimento zeta=0,25, mantendo-se inalterada a frequência de ressonância. O objetivo é calcular a nova amplitude Xzeta a 1200 rpm. Para isso vamos usar a teoria da vibração harmônica forçada de um sistema massa-mola-amortecedor, em particular a fórmula da amplitude em função da razão de frequência r=omega/omegan e do fator de amortecimento zeta.

Passo 2

A razão de frequência é\r
r = omegaomegan \r
Como as velocidades são proporcionais às frequências em rpm, temos\r
r = 1200400 = 3

Passo 3

Para um sistema sem amortecimento ( zeta=0), a amplitude relativa é\r
X0 ;=;F0/kl|1 - r^2r|, \r
onde F0 é a amplitude da força excitante e k a rigidez equivalente. Como X0=0,5 mm e r=3,\r
l|1 - r^2r| = |1 - 9| = 8 Longrightarrow F0k = X0cdot8 = 0,5,mmtimes8 = 4,mm

Passo 4

Com amortecimento zeta=0,25, a amplitude passa a ser\r
Xzeta =F0/kraiz(1 - r^2)^2 + l(2zeta,rr)^2 =4,mmraiz(1 - 9)^2 + l(2cdot0.25cdot3r)^2 \r
Calculando:\r
(1 - 9)^2 = 64, 2zeta r = 2cdot0.25cdot3 = 1,5, (1,5)^2 = 2,25,
Xzeta = 4raiz64 + 2,25;mm = 4raiz66,25;mm approx 48,137;mm approx 0,49;mm

Resposta

A nova amplitude do movimento, com zeta=0,25, é aproximadamente 0,49 mm.

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