Em uma máquina trifásica de 2 polos com N_{\mathrm{s}}=100; calcule \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) e \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) em um instante t se naquele instante as correntes elétricas do estator forem as seguintes:
i_{a}(t)=-5 \mathrm{~A}, i_{b}(t)=10 \mathrm{~A}, e i_{c}(t)=-5 \mathrm{~A};

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) (o vetor espaço de corrente do estator) no instante em que as correntes de fase valem os valores dados.
  • Calcular \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) (o vetor espaço do MMF/força magnetomotriz do estator) nesse mesmo instante.
Informações fornecidas (pegaram-se estes números do enunciado):
  • i_{a}(t)=-5\\ \mathrm{A}.
  • i_{b}(t)=10\\ \mathrm{A}.
  • i_{c}(t)=-5\\ \mathrm{A}.
  • N_{\mathrm{s}}=100 (número de espiras por fase, assumido como tal).
  • Máquina trifásica de 2 polos (essa informação não altera a fórmula direta do vetor espaço para este cálculo; serve para outras relações eletromecânicas, mas aqui usaremos apenas as relações elétricas entre correntes e MMF).

Passo 2

Definição e fórmula do vetor espaço de corrente (explicação didática):
  • O vetor espaço reúne as três correntes de fase numa única quantidade complexa que representa a componente fundamental da distribuição espacial da corrente. A definição padrão usada aqui é
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{2}{3}\bigl(i_a(t)+i_b(t)e^{j\frac{2\pi}{3}}+i_c(t)e^{j\frac{4\pi}{3}}\bigr).
  • O fator \tfrac{2}{3} aparece para garantir que, no caso de correntes trifásicas equilibradas senoidais i_a=I\cos\omega t,\; i_b=I\cos(\omega t-\tfrac{2\pi}{3}),\; i_c=I\cos(\omega t-\tfrac{4\pi}{3}), o vetor espaço vale \vec{\imath}_s = I e^{j\omega t} (ou seja, o módulo do vetor corresponde à amplitude da componente fundamental).
  • Na fórmula:
    • i_a,i_b,i_c são as correntes de cada fase (em \mathrm{A}).
    • e^{j\frac{2\pi}{3}} e e^{j\frac{4\pi}{3}} representam as rotações espaciais de 120^\circ e 240^\circ.
  • Vamos aplicar esta fórmula passo a passo com os valores dados.

Passo 3

Cálculo de \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) passo a passo:
  • Primeiro escrever os valores das exponenciais (valores trigonométricos conhecidos):
e^{j\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad e^{j\frac{4\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Substituindo i_a=-5,\; i_b=10,\; i_c=-5 na expressão:
\begin{aligned} \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) &=\frac{2}{3}\Bigl(-5 + 10\bigl(-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) + (-5)\bigl(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)\Bigr). \end{aligned}
  • Calcular cada termo:
    • 10\bigl(-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = -5 + j\,5\sqrt{3}.
    • (-5)\bigl(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = 2{,}5 + j\,\tfrac{5\sqrt{3}}{2}.
  • Somando os três termos dentro do parêntese:
-5 + (-5 + j5\sqrt{3}) + \bigl(2{,}5 + j\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\bigr) = -7{,}5 + j\Bigl(5\sqrt{3}+\tfrac{5\sqrt{3}}{2}\Bigr).
  • Simplificando a parte imaginária:
5\sqrt{3}+\tfrac{5\sqrt{3}}{2}=\tfrac{15\sqrt{3}}{2}=7{,}5\sqrt{3}.
  • Multiplicando pelo fator \tfrac{2}{3}:
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{2}{3}\bigl(-7{,}5 + j\,7{,}5\sqrt{3}\bigr) = -5 + j\,5\sqrt{3}\\ \mathrm{A}.
  • Podemos também apresentar em forma polar (módulo e fase). O módulo é
|\vec{\imath}_{\mathrm{s}}|=\sqrt{(-5)^2+(5\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+75}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{A},
e o argumento (ângulo) é
\arg\vec{\imath}_{\mathrm{s}}=\operatorname{atan2}\bigl(5\sqrt{3},-5\bigr)=120^\circ=\tfrac{2\pi}{3}.
Portanto
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)= -5 + j\,5\sqrt{3}\\ \mathrm{A} = 10\,e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Definição e cálculo do vetor espaço do MMF \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t):
  • A relação padrão entre o vetor espaço de corrente e o vetor espaço da MMF (com \vec{\imath}_s definido como acima e N_{\mathrm{s}} espiras por fase) é
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{3}{2}\,N_{\mathrm{s}}\,\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t).
  • Explicação do fator \tfrac{3}{2}: para uma bobina trifásica a componente fundamental da MMF resultante tem amplitude \tfrac{3}{2}N_s vezes a amplitude do vetor espaço de corrente definido com o fator \tfrac{2}{3}; essa combinação é a forma usual nas equações de máquinas para que a MMF tenha unidade de ampère-espira (A·espira) e represente corretamente a força magnetomotriz fundamental.
  • Substituindo N_{\mathrm{s}}=100 e \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=-5+j5\sqrt{3}:
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{3}{2}\cdot 100\cdot\bigl(-5 + j\,5\sqrt{3}\bigr)=150\bigl(-5 + j\,5\sqrt{3}\bigr).
  • Multiplicando:
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)= -750 + j\,750\sqrt{3}\\ \mathrm{A\cdot turns}.
  • Em forma polar (módulo e fase):
    • Módulo: |\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}|=150\cdot 10=1500\\ \mathrm{A\cdot turns}.
    • Fase: \arg\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}=\tfrac{2\pi}{3}.
    • Logo:
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=1500\,e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \mathrm{A\cdot turns}.

Passo 5

Resumo rápido e incentivo:
  • Resultado simples e elegante: o conjunto de correntes dá um vetor espaço de corrente de módulo 10\\ \mathrm{A} com ângulo 120^\circ, e a MMF resultante tem amplitude 1500\\ \mathrm{A\cdot turns} com o mesmo ângulo.
  • Bom trabalho por chegar até aqui — essa técnica de vetor espaço é poderosa e muito usada em provas de máquinas elétricas; memorize a forma \vec{\imath}=\tfrac{2}{3}(i_a+i_b e^{j2\pi/3}+i_c e^{j4\pi/3}) e \overrightarrow{\mathcal{F}}=\tfrac{3}{2}N_s\vec{\imath}.

Resposta

\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=-5 + j\,5\sqrt{3}\\ \mathrm{A}=10\,e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \mathrm{A}\n
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=-750 + j\,750\sqrt{3}\\ \mathrm{A\cdot turns}=1500\,e^{j\frac{2\pi}{3}}\\ \mathrm{A\cdot turns}

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