Em uma máquina trifásica de 2 polos com N_{\mathrm{s}}=100; calcule \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) e \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) em um instante t se naquele instante as correntes elétricas do estator forem as seguintes:
i_{a}(t)=-5 \mathrm{~A}, i_{b}(t)=-5 \mathrm{~A}, e i_{c}(t)=10 \mathrm{~A}.

Passo 1

O enunciado fornece os valores instantâneos das correntes de uma máquina trifásica de 2 polos e pede duas coisas: calcular a representação em vetor espaço da corrente do estator \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) e a representação em vetor espaço da força magnetomotriz do estator \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) no mesmo instante. Informações dadas:
  • \;i_{a}(t)=-5\\ \mathrm{A}.
  • \;i_{b}(t)=-5\\ \mathrm{A}.
  • \;i_{c}(t)=10\\ \mathrm{A}.
  • \;N_{\mathrm{s}}=100 (número de espiras por fase, assumido como tal).
  • máquina trifásica de 2 polos (essa informação confirma que não há fator adicional de pares de polos a inserir aqui para a fórmula pedida).
O que se pede:
  • \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) (vetor espaço das correntes, forma complexa).
  • \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) (vetor espaço da MMF do estator) no mesmo instante.

Passo 2

Definição usada para o vetor espaço de corrente (forma complexa):
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{2}{3}\Big(i_a(t)+i_b(t)e^{j\frac{2\pi}{3}}+i_c(t)e^{-j\frac{2\pi}{3}}\Big).
Explicação didática do porquê desta fórmula (passo a passo, sem pular etapas):
  • O vetor espaço é uma forma conveniente de representar as três correntes de fases em um único número complexo que contém as componentes ortogonais (eixo \alpha — parte real — e eixo \beta — parte imaginária).
  • Os fatores e^{\pm j\frac{2\pi}{3}} servem para “rodar” os contribuintes das fases b e c para o mesmo referencial da fase a (as fases estão defasadas de 120^\circ entre si).
  • O fator \tfrac{2}{3} é a constante de normalização que faz com que, para sistemas balanceados, a magnitude do vetor espaço corresponda ao valor eficaz/representativo das correntes nas componentes \alpha- \beta.
Também é útil extrair as componentes \alpha e \beta do vetor:
i_\alpha(t)=\Re\{\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)\},\qquad i_\beta(t)=\Im\{\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)\}.

Passo 3

Vamos calcular \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) substituindo os valores numéricos. Primeiro lembre dos valores de e^{\pm j\frac{2\pi}{3}}:
e^{j\frac{2\pi}{3}}=\cos\frac{2\pi}{3}+j\sin\frac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2},
e^{-j\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora calcule cada termo:
i_a=-5.
i_b e^{j\frac{2\pi}{3}} = -5\Big(-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=2{,}5 - j\frac{5\sqrt{3}}{2}.
i_c e^{-j\frac{2\pi}{3}} = 10\Big(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=-5 - j5\sqrt{3}.
Somando os três termos (parte real e imag separadas):
  • parte real: -5 + 2{,}5 -5 = -7{,}5.
  • parte imaginária: 0 - \dfrac{5\sqrt{3}}{2} - 5\sqrt{3} = -\dfrac{15\sqrt{3}}{2}.
Portanto a soma interna é
i_a+i_b e^{j\frac{2\pi}{3}}+i_c e^{-j\frac{2\pi}{3}} = -7{,}5 - j\frac{15\sqrt{3}}{2}.
Aplicando o fator \tfrac{2}{3}:
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{2}{3}\Big(-7{,}5 - j\frac{15\sqrt{3}}{2}\Big).
Calcule termo a termo:
\frac{2}{3}\cdot(-7{,}5)=-5, \qquad \frac{2}{3}\cdot\frac{15\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}.
Com o sinal negativo da parte imaginária, obtemos
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) = -5 - j5\sqrt{3}\\ \\ (\text{em A, forma retangular}).
Podemos também deixar em forma fasorial (magnitude e ângulo). Calcule magnitude e ângulo:
|\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)|=\sqrt{(-5)^2+(-5\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+75}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{A}.
O ângulo (atan2) é
\angle\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=\operatorname{atan2}\big(-5\sqrt{3},-5\big)=-\tfrac{2\pi}{3}\\ \text{rad} \;=\;-120^\circ.
Logo, em forma fasorial:
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=10\,e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \text{A}.
Interpretação curta (didática): a componente \alpha é i_\alpha=-5\\ \mathrm{A} e a componente \beta é i_\beta=-5\sqrt{3}\\ \mathrm{A}; o vetor espaço resultante tem módulo 10\\ \mathrm{A} e aponta com ângulo -120^\circ.

Passo 4

Agora definimos a relação entre vetor espaço de corrente e vetor espaço da força magnetomotriz (MMF). Para enrolamentos trifásicos fundamentais com N_{\mathrm{s}} espiras por fase, a relação padrão (usada em máquinas elétricas) para a componente fundamental é
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{3}{2}\,N_{\mathrm{s}}\,\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t).
Explicação didática do fator \tfrac{3}{2}:
  • O fator N_{\mathrm{s}} multiplica a corrente para transformar em ampere-espiras (MMF básica).
  • O fator \tfrac{3}{2} aparece quando se passa das três contribuições de fase para o vetor espaço fundamental (é consequência do processo de projeção das três fases nas componentes \alpha- \beta e é a mesma constante que relaciona a amplitude do vetor espaço com a amplitude das correntes de fase para sistemas trifásicos balanceados).

Passo 5

Vamos calcular \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) com N_{\mathrm{s}}=100 e o \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) obtido no Passo 3. Primeiro calcule o fator:
\frac{3}{2}N_{\mathrm{s}}=\frac{3}{2}\cdot100=150.
Multiplicando:
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=150\big(-5 - j5\sqrt{3}\big).
Calcule cada parte:
150\cdot(-5)=-750, \qquad 150\cdot(-5\sqrt{3})=-750\sqrt{3}.
Portanto em forma retangular:
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) = -750 - j750\sqrt{3}\\ \\ (\text{em A·espiras}).
Em forma fasorial (módulo e ângulo):
\big|\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)\big|=150\cdot|\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)|=150\cdot 10=1500\\ \text{A·espiras},
\angle\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=\angle\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=-\tfrac{2\pi}{3}\\ \text{rad} = -120^\circ.
Logo
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=1500\,e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \text{A·espiras}.

Resposta

\displaystyle \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=-5 - j5\sqrt{3}\\ \mathrm{A}=10\,e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \mathrm{A}\n
\displaystyle \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=-750 - j750\sqrt{3}\\ \mathrm{A\!\cdot\!espiras}=1500\,e^{-j\frac{2\pi}{3}}\\ \mathrm{A\!\cdot\!espiras}

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