Em uma máquina trifásica de 2 polos com N_{\mathrm{s}}=100; calcule \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) e \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) em um instante t se naquele instante as correntes elétricas do estator forem as seguintes:
i_{a}(t)=10 \mathrm{~A}, i_{b}(t)=-5 \mathrm{~A}, e i_{c}(t)=-5 \mathrm{~A};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos:
  • Dados (peguei estes valores do enunciado): N_{\mathrm{s}}=100, i_{a}(t)=10\\ \mathrm{A}, i_{b}(t)=-5\\ \mathrm{A}, i_{c}(t)=-5\\ \mathrm{A}.
  • O enunciado pede: calcular \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) (o vetor de espaço das correntes do estator naquele instante) e \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) (o vetor da força magnetomotriz resultante do estator naquele instante).

Passo 2

Primeiro precisamos escolher a convenção para formar o vetor de espaço (essa é a forma mais comum e a que usarei): definir o operador complexo
a = e^{j\frac{2\pi}{3}} = -\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad a^{2} = e^{j\frac{4\pi}{3}} = -\tfrac{1}{2} - j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Explicação rápida do porquê: a representa uma rotação de 120^\circ no plano complexo; para montar o vetor de espaço pondera-se cada corrente pelo fator de fase correspondente.

Passo 3

Definição do vetor de espaço das correntes (forma prática e comum em máquinas trifásicas):
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{2}{3}\bigl(i_{a}(t)+i_{b}(t)\,a+i_{c}(t)\,a^{2}\bigr).
Explanação didática: o fator \tfrac{2}{3} é usado para que, em sistemas equilibrados, o módulo do vetor de espaço coincida com a amplitude de fase útil para análises (é uma normalização padrão). A soma ponderada traz as três correntes ao plano complexo formando um único vetor que representa a distribuição trifásica.

Passo 4

Calcular o somatório interior usando os valores fornecidos:
i_{a}+i_{b}a+i_{c}a^{2}=10+(-5)a+(-5)a^{2}=10-5\bigl(a+a^{2}\bigr).
Agora usar a identidade dos números complexos 1+a+a^{2}=0, logo a+a^{2}=-1. Substituindo:
i_{a}+i_{b}a+i_{c}a^{2}=10-5(-1)=10+5=15.
Comentário: desse resultado vemos que a combinação ficou real (sem parte imaginária), o que indica que o vetor de espaço está alinhado com o eixo de fase a (ângulo 0^\circ na nossa referência).

Passo 5

Aplicar a definição do Passo 3:
\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{2}{3}\cdot 15 = 10.
Interpretação: \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t) é um número complexo real 10, ou seja, 10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}. Isso é o valor do vetor de espaço naquele instante (não estamos incluindo aqui nenhum fator e^{j\omega t} porque o enunciado pede o vetor naquele instante específico em que as correntes valem os números dados).

Passo 6

Agora vamos para a força magnetomotriz espacial resultante. A relação padrão entre vetor de MMF e vetor de corrente é
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{3}{2}\,N_{\mathrm{s}}\,\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t).
Explicação: o fator \tfrac{3}{2} aparece na transformação das correntes trifásicas para a amplitude da MMF fundamental no entreferro para um enrolamento distribuído simétrico; N_{\mathrm{s}} é o número de espiras por fase (ou o fator de turnos relevantes) dado no enunciado.

Passo 7

Calcular numericamente \overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t) usando \vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=10 e N_{\mathrm{s}}=100:
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=\frac{3}{2}\cdot 100\cdot 10 = 1500.
Unidade e interpretação: o resultado tem unidade de \mathrm{A\cdot turns} (ampère-espiras) e é um vetor real positivo, ou seja 1500\angle 0^\circ\\ \mathrm{A\cdot turns}, apontando na direção da fase a.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido (dica para prova): quando as três correntes somarem, pela combinação com a e a^2, para um caso assim simétrico, pode ocorrer que o resultado seja puramente real (vetor alinhado com fase a). Uma forma rápida de checar sem muito cálculo é usar a identidade 1+a+a^{2}=0 e verificar combinações simples como aqui (isto salva tempo na prova).

Resposta

\vec{\imath}_{\mathrm{s}}(t)=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}
\overrightarrow{\mathcal{F}}_{\mathrm{s}}(t)=1500\angle 0^\circ\\ \mathrm{A\cdot turns}

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