Marcam-se cinco pontos distintos sobre uma reta
. Sobre outra reta
, paralela (e distinta) a
, marcam-se mais quatro pontos distintos.
(a) Quantos triângulos podem ser formados com vértices em três quaisquer desses pontos?
(a) Quantos triângulos podem ser formados com vértices em três quaisquer desses pontos?
Passo 1
O enunciado diz que temos 5 pontos colineares numa reta
e 4 pontos colineares noutra reta
, paralela e distinta de
. Queremos contar todos os triângulos cujos vértices sejam escolhidos entre esses 9 pontos, lembrando que três pontos colineares não formam triângulo.
Passo 2
Primeiro calculamos o número total de maneiras de escolher 3 pontos entre os 9 disponíveis, sem nos preocupar ainda com colinearidade:
Passo 3
Agora subtraímos as escolhas que não formam triângulo porque ficam todas sobre a reta
. Há
maneiras de escolher 3 dos 5 pontos sobre
.
Passo 4
De modo análogo, subtraímos as escolhas degeneradas sobre a reta
. Há
maneiras de escolher 3 dos 4 pontos sobre
.
Passo 5
Logo, o número de triângulos é
Resposta
O total de triângulos formados é
.