Marcam-se cinco pontos distintos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela (e distinta) a r, marcam-se mais quatro pontos distintos.
(a) Quantos triângulos podem ser formados com vértices em três quaisquer desses pontos?

Passo 1

O enunciado diz que temos 5 pontos colineares numa reta r e 4 pontos colineares noutra reta s, paralela e distinta de r. Queremos contar todos os triângulos cujos vértices sejam escolhidos entre esses 9 pontos, lembrando que três pontos colineares não formam triângulo.

Passo 2

Primeiro calculamos o número total de maneiras de escolher 3 pontos entre os 9 disponíveis, sem nos preocupar ainda com colinearidade:
\binom{9}{3} = 84.

Passo 3

Agora subtraímos as escolhas que não formam triângulo porque ficam todas sobre a reta r. Há
\binom{5}{3} = 10
maneiras de escolher 3 dos 5 pontos sobre r.

Passo 4

De modo análogo, subtraímos as escolhas degeneradas sobre a reta s. Há
\binom{4}{3} = 4
maneiras de escolher 3 dos 4 pontos sobre s.

Passo 5

Logo, o número de triângulos é
84 - 10 - 4 = 70.

Resposta

O total de triângulos formados é 70.

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