As marcas de refrigerante mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e C. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:
Marcas consumidas \mathrm{N}^{\circ} de consumidores
A 150
B 120
C 80
A e B 60
A e C 20
B e C 40
\mathrm{~A}, \mathrm{~B} \mathrm{e} \mathrm{C} 15
Outras 70
Faça um diagrama representativo da situação e responda:
a) Quantos consumidores beberam refrigerante no bar, nesse dia?
b) Dentre os consumidores de \mathrm{A}, \mathrm{B} e C , quantos beberam apenas duas dessas marcas?
c) Quantos não consumiram a marca C ?
d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca C ?

Passo 1

O enunciado descreve o consumo de três marcas de refrigerante A, B e C num bar, com os totais:
\lvert A\rvert=150, \lvert B\rvert=120, \lvert C\rvert=80,
\lvert A\cap B\rvert=60, \lvert A\cap C\rvert=20, \lvert B\cap C\rvert=40,
\lvert A\cap B\cap C\rvert=15 e ainda 70 consumidores de outras marcas.
O conteúdo é teoria dos conjuntos, usando diagrama de Venn e princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Vamos preencher um diagrama de Venn com as quantidades em cada região:
  1. O núcleo comum a A, B e C é
\lvert A\cap B\cap C\rvert=15.
  1. As pessoas que beberam exatamente duas marcas são
\lvert A\cap B\\ (\text{só})\rvert = 60 -15 = 45,ó
\lvert A\cap C\\ (\text{só})\rvert = 20 -15 = 5,ó
\lvert B\cap C\\ (\text{só})\rvert = 40 -15 = 25.ó
  1. As pessoas que beberam exatamente uma marca são
\lvert A\\ (\text{só})\rvert = 150 -60 -20 +15 = 85,ó
\lvert B\\ (\text{só})\rvert = 120 -60 -40 +15 = 35,ó
\lvert C\\ (\text{só})\rvert = 80 -20 -40 +15 = 35.ó
  1. Fora das três marcas há 70 consumidores de outras.
Com isso, o total de consumidores é
85 + 35 + 35 \;(\text{exatamente 1}) + 45 + 5 + 25\;(\text{exatamente 2}) + 15\;(\text{3}) + 70\;(\text{outras}) = 315.

Passo 3

(a) O número total de consumidores naquele dia é
315.

Passo 4

(b) O número de consumidores que beberam apenas duas das marcas A, B e C é
45 + 5 + 25 = 75.

Passo 5

(c) Quem não consumiu a marca C são todos os consumidores menos os que estão em C. Logo
315 - 80 = 235.

Passo 6

(d) Quem não consumiu nem B nem C está fora de B\cup C, ou seja, é quem bebeu só A mais quem bebeu outras marcas:
85 + 70 = 155.

Resposta

(a) 315
(b) 75
(c) 235
(d) 155

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