Em março de 2011, um reator nuclear da cidade de Fukushima apresentou danos devidos a um grande terremoto no Japão, houve vazamento de material radioativo. Esse material radioativo continha iodo-131 e contaminou toda a região. Sabendo que este radioisótopo I_{53}^{131} emite radiação { }_{-1}^{0} \beta e perde 75 \% de sua atividade em 16 dias, qual é a meia-vida deste radioisótopo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Informação: o radioisótopo I_{53}^{131} perde 75\% da sua atividade em 16 dias.
  • Interpretação imediata dessa informação: após 16 dias resta 25\% da atividade inicial, isto é A(16)=0,25\,A_0.
  • Pergunta: qual é a meia-vida desse radioisótopo? (ou seja, determinar T_{1/2}).

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Lei do decaimento radioativo na forma exponencial:
A(t)=A_0 e^{-\lambda t},
onde A(t) é a atividade no tempo t, A_0 é a atividade inicial (em t=0) e \lambda é a constante de decaimento (unidade: dias^{-1} aqui).
  • Relação entre a constante de decaimento \lambda e a meia-vida T_{1/2}:
\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}.
Isto vem do fato de que em t=T_{1/2} temos A(T_{1/2})=A_0/2, então 1/2=e^{-\lambda T_{1/2}} e tomando logaritmo chega-se à relação acima.
  • Alternativamente, é útil a forma com base 2:
A(t)=A_0 2^{-t/T_{1/2}},
que expressa diretamente quantas meias-vidas se passaram.

Passo 3

Escrever a condição fornecida em forma matemática. Como restam 25\% após 16 dias:
A(16)=0,25\,A_0.
Usando a forma com base 2:
0,25\,A_0 = A_0 2^{-16/T_{1/2}}.
Cancela-se A_0 (assumindo A_0\neq 0):
0,25 = 2^{-16/T_{1/2}}.

Passo 4

Resolver a equação. Observação prática: 0,25=\dfrac{1}{4}=2^{-2}. Então
2^{-2}=2^{-16/T_{1/2}}.
Como as bases são iguais e diferentes de 1, igualam-se os expoentes:
-2 = -\frac{16}{T_{1/2}}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e isolando T_{1/2}:
\frac{16}{T_{1/2}}=2 \quad\Rightarrow\quad T_{1/2}=\frac{16}{2}=8.
A unidade é a mesma do tempo dado no enunciado, ou seja dias.
(A forma alternativa com log mostraria o mesmo resultado: \;T_{1/2}=\dfrac{t\ln 2}{-\ln(A(t)/A_0)}=\dfrac{16\ln 2}{-\ln 0,25}=\dfrac{16\ln 2}{\ln 4}=\dfrac{16\ln 2}{2\ln 2}=8.)

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: meia-vida T_{1/2}=8 dias significa que a cada 8 dias a atividade se reduz à metade; após duas meias-vidas ( 16 dias) a atividade é (1/2)^2=1/4=25\%, que é exatamente o enunciado — bom sinal que o cálculo está consistente. Força aí nos estudos, você mandou bem em chegar até aqui!

Resposta

T_{1/2}=8\\ \text{dias}

Exercícios relacionados