Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período 3.104 s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre os satélites de Marte: Fobos e Deimos. Fobos está orbitando a Marte numa órbita circular de raio 10.000 km e leva 3.104 segundos para completar uma volta. Já Deimos tem uma órbita circular com raio maior, de 24.000 km. A pergunta é: qual é o período de Deimos, ou seja, quanto tempo ele leva para dar uma volta completa ao redor de Marte?
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler das Órbitas, que relaciona o período orbital de um satélite com o raio da sua órbita. Precisamos saber que essa lei nos ajuda a entender como o período varia com o tamanho da órbita quando estamos falando de movimentos circulares ao redor de um mesmo corpo, no caso, Marte.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital ( T) de um planeta (ou satélite) é proporcional ao cubo do raio da sua órbita ( r). Matemáticamente, isso fica assim:
T1^2T2^2 = r1^3r2^3
Onde:
  • T1 e T2 são os períodos de dois satélites diferentes,
  • r1 e r2 são os raios das órbitas desses satélites.

Passo 3

Vamos identificar o que temos e o que precisamos encontrar:
  • T1 = 3.104 segundos (período de Fobos),
  • r1 = 10.000 km (raio da órbita de Fobos),
  • r2 = 24.000 km (raio da órbita de Deimos),
  • T2 = ? (período de Deimos).
Queremos achar T2, então vamos reorganizar a fórmula para resolver para T2:
T2 = T1 times raizr2^3r1^3

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
T2 = 3.104 times raiz(24.000)^3(10.000)^3
Primeiro, calculamos os cubos dos raios:
(24.000)^3 = 13.824.000.000 , km^3
(10.000)^3 = 1.000.000.000 , km^3

Passo 5

Agora, fazemos a divisão dos resultados:
13.824.000.0001.000.000.000 = 13,824
Em seguida, tiramos a raiz quadrada desse resultado:
raiz13,824 approx 3,72

Passo 6

Finalmente, multiplicamos esse fator pelo período de Fobos para encontrar o período de Deimos:
T2 = 3.104 times 3,72 approx 11.556 , segundos

Resposta

O período de Deimos é aproximadamente 11.556 segundos.

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