Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período 3.104 s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre os satélites de Marte: Fobos e Deimos. Fobos está orbitando a Marte numa órbita circular de raio 10.000 km e leva 3.104 segundos para completar uma volta. Já Deimos tem uma órbita circular com raio maior, de 24.000 km. A pergunta é: qual é o período de Deimos, ou seja, quanto tempo ele leva para dar uma volta completa ao redor de Marte?
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Kepler das Órbitas, que relaciona o período orbital de um satélite com o raio da sua órbita. Precisamos saber que essa lei nos ajuda a entender como o período varia com o tamanho da órbita quando estamos falando de movimentos circulares ao redor de um mesmo corpo, no caso, Marte.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital (
) de um planeta (ou satélite) é proporcional ao cubo do raio da sua órbita (
). Matemáticamente, isso fica assim:
Onde:
-
e são os períodos de dois satélites diferentes, -
e são os raios das órbitas desses satélites.
Passo 3
Vamos identificar o que temos e o que precisamos encontrar:
-
segundos (período de Fobos), -
km (raio da órbita de Fobos), -
km (raio da órbita de Deimos), -
(período de Deimos).
Queremos achar
, então vamos reorganizar a fórmula para resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Primeiro, calculamos os cubos dos raios:
Passo 5
Agora, fazemos a divisão dos resultados:
Em seguida, tiramos a raiz quadrada desse resultado:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos esse fator pelo período de Fobos para encontrar o período de Deimos:
Resposta
O período de Deimos é aproximadamente 11.556 segundos.