São dados três vetores em metros:
\begin{aligned} & \vec{d}_{1}=-3,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{2}=-2,0 \hat{\mathrm{i}}-4,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{3}=2,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+1,0 \hat{\mathrm{k}} . \end{aligned}
Determine (a) \vec{d}_{1} \cdot\left(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá três vetores (em metros) e pede um produto escalar. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Vetores fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • \vec{d}_{1} = -3,0\hat{\mathrm{i}} + 3,0\hat{\mathrm{j}} + 2,0\hat{\mathrm{k}}
    • \vec{d}_{2} = -2,0\hat{\mathrm{i}} - 4,0\hat{\mathrm{j}} + 2,0\hat{\mathrm{k}}
    • \vec{d}_{3} = 2,0\hat{\mathrm{i}} + 3,0\hat{\mathrm{j}} + 1,0\hat{\mathrm{k}}
  • O que se pede:
    • (a) calcular \vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\bigr).

Passo 2

Primeira operação necessária: somar os vetores \vec{d}_{2} e \vec{d}_{3}. Lembre que soma de vetores em componentes é feita componente a componente: soma-se as componentes \hat{\mathrm{i}}, as \hat{\mathrm{j}} e as \hat{\mathrm{k}} separadamente.
Faço a soma componente a componente (peguei os números dos vetores acima):
\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3} = \bigl(-2,0+2,0\bigr)\hat{\mathrm{i}} + \bigl(-4,0+3,0\bigr)\hat{\mathrm{j}} + \bigl(2,0+1,0\bigr)\hat{\mathrm{k}}.
Calculando cada componente:
\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3} = 0,0\hat{\mathrm{i}} -1,0\hat{\mathrm{j}} +3,0\hat{\mathrm{k}}.

Passo 3

Agora precisamos do produto escalar entre \vec{d}_{1} e o vetor que acabamos de obter. Vou relembrar a definição do produto escalar em componentes e explicar o que cada símbolo significa.
Para dois vetores em \mathbb{R}^3,
\vec{a}=a_x\hat{\mathrm{i}}+a_y\hat{\mathrm{j}}+a_z\hat{\mathrm{k}}, \qquad \vec{b}=b_x\hat{\mathrm{i}}+b_y\hat{\mathrm{j}}+b_z\hat{\mathrm{k}},
o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Aqui a_x,a_y,a_z e b_x,b_y,b_z são as componentes escalares (números) de cada vetor nas direções \hat{\mathrm{i}},\hat{\mathrm{j}},\hat{\mathrm{k}}. O resultado é um número escalar. Se os vetores têm unidade metro ( \mathrm{m}), então cada produto a_x b_x tem unidade \mathrm{m}^2, assim o resultado final tem unidade \mathrm{m}^2.

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto escalar usando as componentes de \vec{d}_{1} e de \vec{d}_{2}+\vec{d}_{3} (peguei as componentes calculadas nos passos anteriores):
\vec{d}_{1} = (-3,0,\;3,0,\;2,0), \qquad \vec{d}_{2}+\vec{d}_{3} = (0,0,\;-1,0,\;3,0).
Portanto
\vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\bigr) = (-3,0)\cdot 0,0 + (3,0)\cdot(-1,0) + (2,0)\cdot 3,0.
Calculo termo a termo:
(-3,0)\cdot 0,0 = 0,0, \qquad (3,0)\cdot(-1,0) = -3,0, \qquad (2,0)\cdot 3,0 = 6,0.
Somando:
0,0 + (-3,0) + 6,0 = 3,0.
A unidade é \mathrm{m}^2.

Passo 5

Como verificação (e para fixar a propriedade distributiva do produto escalar), posso também calcular usando
\vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\bigr)=\vec{d}_{1}\cdot\vec{d}_{2}+\vec{d}_{1}\cdot\vec{d}_{3},
e verificar que dá o mesmo resultado.
Calculo rápido (peguei os componentes dos vetores iniciais):
\vec{d}_{1}\cdot\vec{d}_{2}=(-3,0)(-2,0)+(3,0)(-4,0)+(2,0)(2,0)=6,0-12,0+4,0=-2,0,
\vec{d}_{1}\cdot\vec{d}_{3}=(-3,0)(2,0)+(3,0)(3,0)+(2,0)(1,0)=-6,0+9,0+2,0=5,0.
Somando:
-2,0+5,0=3,0,
confirma o resultado obtido no passo anterior.

Passo 6

Resumo rápido e um incentivo: fizemos a soma componente a componente e depois aplicamos a definição do produto escalar (produto componente a componente e soma). É um procedimento mecânico — com prática você faz muito rápido na prova. Continue praticando alguns exemplos parecidos para pegar fluidez!

Resposta

3,0\\ \mathrm{m}^2

Exercícios relacionados