Qual a Massa de Jeans da Nebulosa de Órion sabendo-se que a temperatura é aproximadamente 70 K , densidade 10^{\wedge}(-23) \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{\wedge} 3 e \mathrm{mu}=1 ?
a) 0,12 \times 10^{\wedge} 5 Msolar.
b) 1,20 \times 10^{\wedge} 5 Msolar.
c) 0,84 \times 10^{\wedge} 5 Msolar.
d) 8,40 \times 10^{\wedge} 5 Msolar.
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado pede a massa de Jeans da Nebulosa de Órion dado que a temperatura é aproximadamente 70\\ \mathrm{K}, a densidade de massa vale \rho=10^{-23}\\ \mathrm{g/cm^{3}} e o peso molecular médio \mu=1. Este problema envolve o conceito de instabilidade de Jeans, onde a massa crítica para colapso gravitacional é
M_{J} \;=\;\frac{\pi^{5/2}}{6}\;\frac{c_{s}^{3}}{G^{3/2}\,\rho^{1/2}}
e o som da velocidade térmica c_{s} é
c_{s} \;=\;\sqrt{\frac{k_{B}\,T}{\mu\,m_{H}}}\,.

Passo 2

Calcular c_{s} usando k_{B}=1{,}38\times10^{-16}\\ \mathrm{erg/K} e m_{H}=1{,}67\times10^{-24}\\ \mathrm{g}:
c_{s}^{2} \;=\;\frac{k_{B}\,T}{\mu\,m_{H}} \;=\;\frac{1{,}38\times10^{-16}\times70}{1\times1{,}67\times10^{-24}} \;=\;5{,}79\times10^{9}\quad(\mathrm{cm^{2}/s^{2}}),
c_{s}\;=\;\sqrt{5{,}79\times10^{9}} \;\approx\;7{,}61\times10^{4}\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 3

Substituir na fórmula de Jeans, usando G=6{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{cm^{3}/g\,s^{2}} e \rho=10^{-23}\\ \mathrm{g/cm^{3}}:
M_{J} =\frac{\pi^{5/2}}{6}\;\frac{c_{s}^{3}}{G^{3/2}\,\rho^{1/2}}.
Calcular separadamente:
\frac{\pi^{5/2}}{6}\approx2{,}92, \quad c_{s}^{3}\approx(7{,}61\times10^{4})^{3}=4{,}41\times10^{14}\\ \mathrm{cm^{3}/s^{3}},
G^{3/2}=(6{,}67\times10^{-8})^{3/2}\approx1{,}72\times10^{-11}, \quad \rho^{1/2}=(10^{-23})^{1/2}=10^{-11{,}5}=3{,}16\times10^{-12}.

Passo 4

Agora o produto no denominador e a razão:
G^{3/2}\,\rho^{1/2} =1{,}72\times10^{-11}\times3{,}16\times10^{-12} \approx5{,}43\times10^{-23},
M_{J} =2{,}92\;\frac{4{,}41\times10^{14}}{5{,}43\times10^{-23}} \approx2{,}92\times8{,}12\times10^{36} \approx2{,}37\times10^{37}\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Converter para massas solares usando 1\\ M_{\odot}=2\times10^{33}\\ \mathrm{g}:
M_{J} =\frac{2{,}37\times10^{37}}{2\times10^{33}} \approx1{,}18\times10^{4}\\ M_{\odot} =0{,}12\times10^{5}\\ M_{\odot}.

Resposta

a) 0{,}12 \times 10^{5}\\ M_{\odot}

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