Uma massa m oscila no plano na extremidade de uma barra rígida e sem massa fixa no ponto O. Uma mola de rigidez k e comprimento livre H está entre a massa m e o solo. Usando a equação de Lagrange, determine a equação do movimento em termos de referencial inercial X Y usando as coordenadas X e Y.

Passo 1

O enunciado descreve uma massa m presa na extremidade de uma barra rígida e sem massa, de comprimento l, articulada em O, que se move no plano XY. Além disso há uma mola de constante elástica k e comprimento livre H ligada entre a massa m e o solo (plano Y=0), de modo que a mola fica sempre vertical e sua deformação é ,y-H, sendo y a ordenada da massa. Vamos usar o método de Lagrange com multiplicador de ­restrição para escrever as equações de movimento em x e y, lembrando que a restrição geométrica é
x^2+y^2 = l^2

Passo 2

Definimos as energias cinética e potencial da seguinte forma:
T = tfracm2l(dot x^2 + dot y^2r), V = tfrack2,(y - H)^2
A função de Lagrange com o multiplicador lambda para impor x^2+y^2-l^2=0 é
L = T - V + lambda,tfrac12l(x^2+y^2-l^2r)

Passo 3

Aplicando a equação de Lagrange em x:
ddtl(partial Lpartial dot xr) - partial Lpartial x = 0 Longrightarrow m,ddot x - lambda,x = 0 Longrightarrow m,ddot x = lambda,x

Passo 4

Aplicando a equação de Lagrange em y:
ddtl(partial Lpartial dot yr) - partial Lpartial y = 0 Longrightarrow m,ddot y + k,(y - H) - lambda,y = 0 Longrightarrow m,ddot y = lambda,y ;-; k,(y - H)

Passo 5

A restrição geométrica completa o sistema:
x^2 + y^2 = l^2
Assim obtemos as três equações necessárias para determinar ,x(t),y(t) e o multiplicador lambda(t).

Resposta

As equações de movimento são
m,ddot x = lambda,x, m,ddot y = lambda,y - k,(y - H), x^2 + y^2 = l^2,
onde lambda é o multiplicador de Lagrange que garante a restrição x^2+y^2=l^2.

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