Uma massa
oscila no plano na extremidade de uma barra rígida e sem massa fixa no ponto
. Uma mola de rigidez
e comprimento livre
está entre a massa
e o solo. Usando a equação de Lagrange, determine a equação do movimento em termos de referencial inercial
usando as coordenadas
e
.
Passo 1
O enunciado descreve uma massa
presa na extremidade de uma barra rígida e sem massa, de comprimento
, articulada em
, que se move no plano
. Além disso há uma mola de constante elástica
e comprimento livre
ligada entre a massa
e o solo (plano
), de modo que a mola fica sempre vertical e sua deformação é
, sendo
a ordenada da massa. Vamos usar o método de Lagrange com multiplicador de restrição para escrever as equações de movimento em
e
, lembrando que a restrição geométrica é
Passo 2
Definimos as energias cinética e potencial da seguinte forma:
A função de Lagrange com o multiplicador
para impor
é
Passo 3
Aplicando a equação de Lagrange em
:
Passo 4
Aplicando a equação de Lagrange em
:
Passo 5
A restrição geométrica completa o sistema:
Assim obtemos as três equações necessárias para determinar
e o multiplicador
.
Resposta
As equações de movimento são
onde
é o multiplicador de Lagrange que garante a restrição
.