(a) Uma massa
repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito e está atada a um fio de massa desprezível. O fio segue horizontalmente até a borda da mesa, onde passa por uma roldana de massa desprezível, sem atrito, e a seguir é pendurado verticalmente. Uma segunda massa
é agora atada a outra extremidade do fio. Obtenha a Lagrangiana para esse sistema. Determine a equação de movimento de Lagrange e resolva-a para a aceleração dos blocos. Como sua coordenada generalizada, use a distância
da segunda massa abaixo do topo da mesa. (b) Resolva novamente o item (a), agora utilizando o formalismo Hamiltoniano.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema com duas massas
e
ligadas por um fio sem massa que passa por uma roldana sem atrito. A massa
desliza horizontalmente sobre a mesa sem atrito, enquanto a massa
fica pendurada e se desloca verticalmente. Vamos usar como coordenada generalizada
, que mede a distância que
desceu a partir da borda da mesa. O objetivo é (a) obter a Lagrangiana, escrever a equação de Lagrange e achar a aceleração do sistema; (b) repetir o procedimento pelo formalismo Hamiltoniano.
Passo 2
Primeiro escrevemos as energias cinética e potencial em função de
e
:
A massa
move-se horizontalmente com velocidade
, e a massa
move-se verticalmente também com velocidade
. Logo a energia cinética total é
Para a energia potencial, tomamos como referência
na borda da mesa e adotamos
para descida. A altura de
em relação à borda é
, então
Passo 3
A Lagrangiana é
Passo 4
Aplicamos a equação de Euler–Lagrange para a coordenada
:
Calculamos cada termo:
Logo a equação de movimento fica
Passo 5
Da equação acima isolamos a aceleração
:
Isto mostra que
desce (e
avança para a direita) com aceleração constante igual a
.
Passo 6
No formalismo Hamiltoniano, definimos o momento canônico
O Hamiltoniano é
As equações de Hamilton são
Derivando
em relação ao tempo,
recuperando a mesma aceleração.
Resposta
Lagrangiana:
Equação de Lagrange:
Aceleração:
Hamiltoniano:
com
,
e o mesmo
.