(a) Uma massa m_{1} repousa sobre uma mesa horizontal sem atrito e está atada a um fio de massa desprezível. O fio segue horizontalmente até a borda da mesa, onde passa por uma roldana de massa desprezível, sem atrito, e a seguir é pendurado verticalmente. Uma segunda massa m_{2} é agora atada a outra extremidade do fio. Obtenha a Lagrangiana para esse sistema. Determine a equação de movimento de Lagrange e resolva-a para a aceleração dos blocos. Como sua coordenada generalizada, use a distância x da segunda massa abaixo do topo da mesa. (b) Resolva novamente o item (a), agora utilizando o formalismo Hamiltoniano.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema com duas massas m_{1} e m_{2} ligadas por um fio sem massa que passa por uma roldana sem atrito. A massa m_{1} desliza horizontalmente sobre a mesa sem atrito, enquanto a massa m_{2} fica pendurada e se desloca verticalmente. Vamos usar como coordenada generalizada x, que mede a distância que m_{2} desceu a partir da borda da mesa. O objetivo é (a) obter a Lagrangiana, escrever a equação de Lagrange e achar a aceleração do sistema; (b) repetir o procedimento pelo formalismo Hamiltoniano.

Passo 2

Primeiro escrevemos as energias cinética e potencial em função de x e \dot x:
A massa m_{1} move-se horizontalmente com velocidade \dot x, e a massa m_{2} move-se verticalmente também com velocidade \dot x. Logo a energia cinética total é
T = \tfrac12\,m_{1}\,\dot x^{2} \;+\;\tfrac12\,m_{2}\,\dot x^{2} =\tfrac12\,(m_{1}+m_{2})\,\dot x^{2}.
Para a energia potencial, tomamos como referência V=0 na borda da mesa e adotamos x>0 para descida. A altura de m_{2} em relação à borda é -x, então
V = m_{2}\,g\,(\text{altura}) = m_{2}\,g\,(-x) = -\,m_{2}\,g\,x.

Passo 3

A Lagrangiana é
L = T - V = \tfrac12\,(m_{1}+m_{2})\,\dot x^{2} \;-\;\bigl(-m_{2}\,g\,x\bigr) = \tfrac12\,(m_{1}+m_{2})\,\dot x^{2} + m_{2}\,g\,x.

Passo 4

Aplicamos a equação de Euler–Lagrange para a coordenada x:
\frac{d}{dt}\!\Bigl(\frac{\partial L}{\partial \dot x}\Bigr) -\frac{\partial L}{\partial x} = 0.
Calculamos cada termo:
\frac{\partial L}{\partial \dot x} = (m_{1}+m_{2})\,\dot x, \quad \frac{d}{dt}\!\bigl[(m_{1}+m_{2})\,\dot x\bigr] = (m_{1}+m_{2})\,\ddot x,
\frac{\partial L}{\partial x} = m_{2}\,g.
Logo a equação de movimento fica
(m_{1}+m_{2})\,\ddot x \;-\; m_{2}\,g = 0.

Passo 5

Da equação acima isolamos a aceleração \ddot x:
\ddot x = \frac{m_{2}\,g}{m_{1}+m_{2}}.
Isto mostra que m_{2} desce (e m_{1} avança para a direita) com aceleração constante igual a \tfrac{m_{2}g}{m_{1}+m_{2}}.

Passo 6

No formalismo Hamiltoniano, definimos o momento canônico
p = \frac{\partial L}{\partial \dot x} = (m_{1}+m_{2})\,\dot x.
O Hamiltoniano é
H = p\,\dot x - L = p\,\frac{p}{m_{1}+m_{2}} - \Bigl[\tfrac12\,(m_{1}+m_{2})\Bigl(\frac{p}{m_{1}+m_{2}}\Bigr)^{2} + m_{2}\,g\,x\Bigr] = \frac{p^{2}}{2\,(m_{1}+m_{2})} \;-\; m_{2}\,g\,x.
As equações de Hamilton são
\dot x = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m_{1}+m_{2}}, \quad \dot p = -\,\frac{\partial H}{\partial x} = m_{2}\,g.
Derivando \dot x em relação ao tempo,
\ddot x = \frac{\dot p}{m_{1}+m_{2}} = \frac{m_{2}\,g}{m_{1}+m_{2}},
recuperando a mesma aceleração.

Resposta

Lagrangiana:
L = \tfrac12\,(m_{1}+m_{2})\,\dot x^{2} + m_{2}\,g\,x.
Equação de Lagrange:
(m_{1}+m_{2})\,\ddot x - m_{2}\,g = 0.
Aceleração:
\ddot x = \frac{m_{2}\,g}{m_{1}+m_{2}}.
Hamiltoniano:
H = \frac{p^{2}}{2\,(m_{1}+m_{2})} - m_{2}\,g\,x,
com \dot x = p/(m_{1}+m_{2}), \dot p = m_{2}g e o mesmo \ddot x.

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