Considere uma partícula de massa
movendo-se em duas dimensões sujeita à força
, onde
e
são constantes positivas. (a) Obtenha a Lagrangiana e as equações de Lagrange, usando
e
como coordenada generalizadas. Resolva as equações e descreva o movimento. (b) Obtenha a Hamiltoniana e as equações de Hamilton. Resolva as equações e confirme o resultado da letra (a).
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa
em duas dimensões sujeita à força
com
e
. Vamos usar coordenadas generalizadas
e
, encontrando primeiro a Lagrangiana
(parte (a)), obter as equações de Lagrange, resolver e descrever o movimento. Na parte (b) definiremos os momentos canônicos, construiremos a Hamiltoniana
, obteremos as equações de Hamilton, resolveremos e confirmaremos o resultado da parte (a).
Passo 2
Primeiro escrevemos a energia cinética
Para achar a energia potencial
usamos
. Assim,
Logo
e a Lagrangiana fica
Passo 3
Aplicando as equações de Lagrange
para
e
, obtemos
Passo 4
Essas equações decoplam-se em:
– No eixo temos um oscilador harmônico:
– No eixo
– No eixo
temos aceleração constante
:
Portanto o movimento é a superposição de um movimento harmônico em
e um movimento uniformemente acelerado em
.
Passo 5
Agora passamos ao formalismo Hamiltoniano. Definimos os momentos canônicos
A Hamiltoniana é
Passo 6
As equações de Hamilton
dão, para
,
Da primeira linha recuperamos
, e da segunda
. Integrando, obtemos exatamente
confirmando o resultado da parte (a).
Resposta
(a) Lagrangiana
Equações de Lagrange
Soluções
(b) Hamiltoniana
Equações de Hamilton
Soluções idênticas às da parte (a), confirmando o movimento harmônico em
e uniformemente acelerado em
.