- Uma massa
, suspensa em equilíbrio na ponta de uma mola, recebe um golpe de cima para baixo que lhe dá instantaneamente 2 unidades de quantidade de movimento. No instante
a massa é sujeita à força externa
. Supondo que a constante de elasticidade é diferente de
, ache a equação do movimento da massa
.
Passo 1
O enunciado descreve uma massa
presa a uma mola de constante elástica
, em equilíbrio em
. Ela sofre um impulso de quantidade de movimento
em
(força
) e, além disso, para
recebe uma força externa
(multiplicada pelo degrau
). O modelo é a EDO linear
com
e queremos achar
. Vamos usar transformada de Laplace e a resposta ao impulso.
Passo 2
Escrevendo a EDO e condições iniciais:
O impulso satisfaz
Definimos ainda
.
Passo 3
Tomando Laplace (com
) e usando
,
, obtemos
Como
e
, segue
Passo 4
Analisamos separadamente:
)
resposta ao impulso
Passo 5
onde
é a transformada inversa de
. Isso é convolution de
e
, isto é,
Usando a identidade de convolução, encontra-se
Logo
Passo 6
Somando as duas partes, a solução completa é