1. Uma massa m, suspensa em equilíbrio na ponta de uma mola, recebe um golpe de cima para baixo que lhe dá instantaneamente 2 unidades de quantidade de movimento. No instante t \geq a a massa é sujeita à força externa \operatorname{sen}(t-a). Supondo que a constante de elasticidade é diferente de m, ache a equação do movimento da massa m.
f(t)=2 \delta_{0}(t)+u_{a}(t) \operatorname{sen}(t-a)

Passo 1

O enunciado descreve uma massa m presa a uma mola de constante elástica k, em equilíbrio em x=0. Ela sofre um impulso de quantidade de movimento 2 em t=0 (força 2\delta_0(t)) e, além disso, para t\ge a recebe uma força externa \sin(t-a) (multiplicada pelo degrau u_a(t)). O modelo é a EDO linear
m\,x''(t)+k\,x(t)=f(t),
com
f(t)=2\,\delta_0(t)+u_a(t)\,\sin(t-a),
e queremos achar x(t). Vamos usar transformada de Laplace e a resposta ao impulso.

Passo 2

Escrevendo a EDO e condições iniciais:
m\,x''(t)+k\,x(t)=2\,\delta_0(t)+u_a(t)\,\sin(t-a),
x(0^-)=0,\quad x'(0^-)=0.
O impulso satisfaz
\int_{0^-}^{0^+}m\,x''(t)\,dt=\int_{0^-}^{0^+}2\,\delta_0(t)\,dt \;\Longrightarrow\; m\,[x'(0^+)-0]=2 \;\Longrightarrow\; x'(0^+)=\frac{2}{m}.
Definimos ainda \omega_0=\sqrt{\tfrac{k}{m}}.

Passo 3

Tomando Laplace (com X(s)=\mathcal L\{x(t)\}) e usando \mathcal L\{\delta_0\}=1, \mathcal L\{u_a(t)\sin(t-a)\}=e^{-a s}\,\tfrac{1}{s^2+1}, obtemos
m\bigl[s^2X(s)-s\,x(0^+)-x'(0^+)\bigr]+k\,X(s) =2\cdot1+e^{-as}\,\frac{1}{s^2+1}.
Como x(0^+)=0 e x'(0^+)=2/m, segue
m\,s^2X(s)-2 +k\,X(s) =2+\frac{e^{-as}}{s^2+1} \;\Longrightarrow\; X(s)\,(m s^2+k) =2+\frac{e^{-as}}{s^2+1}+2
\Longrightarrow X(s) =\frac{2}{m(s^2+\omega_0^2)}+\frac{e^{-as}}{(s^2+\omega_0^2)(s^2+1)}.

Passo 4

Analisamos separadamente:
1) X_1(s)=\dfrac{2}{m(s^2+\omega_0^2)} \to resposta ao impulso
x_1(t) =\frac{2}{m}\,\frac{1}{\omega_0}\sin(\omega_0 t) =\frac{2}{m\,\omega_0}\,\sin(\omega_0 t).

Passo 5

2) X_2(s)=\dfrac{e^{-as}}{(s^2+\omega_0^2)(s^2+1)}. Pela transformação de atraso,
x_2(t)=u_a(t)\,y(t-a),
onde y(\tau) é a transformada inversa de \dfrac{1}{(s^2+\omega_0^2)(s^2+1)}. Isso é convolution de \tfrac{1}{s^2+\omega_0^2} e \tfrac{1}{s^2+1}, isto é,
y(\tau) =\int_{0}^{\tau}\frac{\sin[\omega_0(\tau-u)]}{\omega_0}\,\sin(u)\,du.
Usando a identidade de convolução, encontra-se
y(\tau) =\frac{\sin(\omega_0\tau)-\omega_0\sin\tau}{\omega_0\,(\omega_0^2-1)}.
Logo
x_2(t) =\frac{1}{m}\;u_a(t)\; \frac{\sin\bigl[\omega_0(t-a)\bigr]-\omega_0\,\sin(t-a)} {\omega_0\,(\omega_0^2-1)}.

Passo 6

Somando as duas partes, a solução completa é
x(t) =x_1(t)+x_2(t) =\frac{2}{m\,\omega_0}\sin(\omega_0 t) +\frac{1}{m\,\omega_0(\omega_0^2-1)} \bigl[\sin\bigl(\omega_0(t-a)\bigr)-\omega_0\sin(t-a)\bigr]\;u_a(t).

Resposta

\boxed{ x(t) =\frac{2}{m\,\omega_0}\,\sin(\omega_0 t) +\frac{1}{m\,\omega_0(\omega_0^2-1)} \bigl[\sin\bigl(\omega_0(t-a)\bigr)-\omega_0\sin(t-a)\bigr]\,u_a(t), \quad \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}. }

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