A massa molecular do \mathrm{CO}_{2} é de 7,31 \times 10^{-23}. Qual a velocidade média das moléculas de \mathrm{CO}_{2} a 25^{\circ} \mathrm{C} .\left(\mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} . \mathrm{mol}^{-1} . \mathrm{K}^{-1}\right).
Obs.: 1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Massa molecular do \mathrm{CO}_2: 7,31\times10^{-23}. (O enunciado não explicitou a unidade; vou interpretar isto como 7,31\times10^{-23}\,\mathrm{g}, que é a forma comum de apresentar massa de uma molécula em exercícios. Em seguida mostro a conversão para o SI.)
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Constante dos gases: R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Observação de unidade: 1\\ \mathrm{J}=1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}\cdot s^{-2}}.
O que é pedido:
  • Calcular a velocidade média das moléculas de \mathrm{CO}_2 à temperatura dada.

Passo 2

Entendendo o que é “velocidade média” e qual fórmula usar (explicação didática):
  • Para um gás ideal descrito pela distribuição de Maxwell–Boltzmann, a velocidade média aritmética das moléculas (denotada por \overline{v}) é dada pela fórmula
\overline{v}=\sqrt{\dfrac{8k_{\mathrm{B}}T}{\pi m}},
onde:
  • \overline{v} é a velocidade média das moléculas (unidade: \mathrm{m\cdot s^{-1}});
  • k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann (unidade: \mathrm{J\cdot K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta (unidade: \mathrm{K});
  • m é a massa de uma molécula (unidade: \mathrm{kg});
  • \pi é a constante pi.
  • Alternativa prática usando a constante dos gases R e a massa molar M (unidade \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}):
\overline{v}=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}}.
Essa fórmula é equivalente à anterior porque k_{\mathrm{B}}=R/N_{\mathrm{A}} e m=M/N_{\mathrm{A}}, onde N_{\mathrm{A}} é o número de Avogadro; os N_{\mathrm{A}} cancelam.
  • Vou usar a fórmula mais conveniente dependendo dos dados: aqui temos a massa por molécula (em gramas no enunciado), então converto para \mathrm{kg} e uso a primeira fórmula com k_{\mathrm{B}} — ou uso diretamente a segunda fórmula se preferir trabalhar com massa molar. Vou mostrar a via com massa por molécula (convertendo para \mathrm{kg}) e também comentar a via com massa molar.

Passo 3

Conversões e valores numéricos iniciais (passo a passo):
  • Converter a massa fornecida para o SI. Interpreto o dado 7,31\times10^{-23} como gramas por molécula, então:
m = 7,31\times10^{-23}\\ \mathrm{g} = 7,31\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
(Para converter: multiplica-se por 10^{-3} para passar de grama para quilograma.)
  • Converter a temperatura para Kelvin:
T = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Valor da constante de Boltzmann (valor padrão, explico por que uso):
k_{\mathrm{B}} = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\cdot K^{-1}}.
Eu uso k_{\mathrm{B}} porque a fórmula com m (massa por molécula) exige essa constante; ela relaciona energia térmica por partícula à temperatura.

Passo 4

Aplicando a fórmula da velocidade média com massa por molécula (mostro cada conta):
  • Fórmula:
\overline{v}=\sqrt{\dfrac{8k_{\mathrm{B}}T}{\pi m}}.
  • Substituindo os valores:
\overline{v}=\sqrt{\dfrac{8\cdot (1{,}380649\times10^{-23})\cdot 298{,}15}{\pi\cdot (7{,}31\times10^{-26})}}.
Agora calculamos passo a passo os termos do radicando:
  • Primeiro calcule k_{\mathrm{B}}\cdot T:
k_{\mathrm{B}}T = 1{,}380649\times10^{-23}\times 298{,}15 \approx 4{,}1164\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  • Multiplicar por 8:
8k_{\mathrm{B}}T \approx 8\times 4{,}1164\times10^{-21} \approx 3{,}2931\times10^{-20}.
  • Calcular \pi m:
\pi m \approx 3{,}14159265\times 7{,}31\times10^{-26} \approx 2{,}2960\times10^{-25}.
  • Dividir:
\frac{8k_{\mathrm{B}}T}{\pi m} \approx \frac{3{,}2931\times10^{-20}}{2{,}2960\times10^{-25}} \approx 1{,}4343\times10^{5}.
  • Finalmente, raiz quadrada:
\overline{v} \approx \sqrt{1{,}4343\times10^{5}} \approx 3,789\times10^{2}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Passo 5

Verificação rápida com a fórmula usando massa molar (coisa útil para a prova):
  • A massa molar do \mathrm{CO}_2 é aproximadamente M=44{,}01\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}} = 0{,}04401\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
  • Usando
\overline{v}=\sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}},
substituindo R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e T=298{,}15\\ \mathrm{K},
fazendo as contas (passos análogos aos anteriores) obtém-se o mesmo valor numérico,
\overline{v}\approx 3,79\times10^{2}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Isto confirma que a conversão e a aplicação da fórmula anterior estão coerentes.

Passo 6

Interpretando o resultado e comparação curta (para fixar o conceito):
  • A velocidade média obtida é da ordem de algumas centenas de metros por segundo; em gases à temperatura ambiente é comum encontrar velocidades dessa ordem.
  • Observação útil para a prova: existe também a velocidade quadrática média (velocidade RMS),
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
que é um pouco maior que \overline{v}. Para o \mathrm{CO}_2 em 25^\circ\mathrm{C} tem-se v_{\mathrm{rms}}\approx 4,11\times10^{2}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}. Saber a diferença entre essas velocidades pode ser pedido em questões conceituais.

Resposta

3,79\times10^{2}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}

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