A massa molecular do oxigênio vale 32 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, a do argônio vale 40 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} e a do hélio vale 4 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.
53. Calcule a velocidade quadrática média de um átomo de argônio à temperatura ambiente ( 20^{\circ} \mathrm{C} ). A que temperatura a velocidade quadrática média do átomo será reduzida à metade desse valor? Em que temperatura ela será o dobro?

Passo 1

O enunciado dá as massas molares e pede três coisas sobre o átomo de argônio:
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • Massa molar do argônio: M_{\text{Ar}}=40\\ \mathrm{g/mol}.
    • Temperatura ambiente: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Calcular a velocidade quadrática média (velocidade rms) de um átomo de argônio à temperatura 20^\circ\mathrm{C}.
    2. Determinar a que temperatura a velocidade rms será reduzida à metade desse valor.
    3. Determinar a que temperatura a velocidade rms será o dobro desse valor.

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (aula curta e intuitiva).
  • A velocidade quadrática média (velocidade rms) de partículas de um gás ideal é dada pela relação da teoria cinética:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3k_{\mathrm{B}}T}{m}},
onde:
  • v_{\text{rms}} é a velocidade quadrática média (m/s);
  • k_{\mathrm{B}} é a constante de Boltzmann (J/K);
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (K);
  • m é a massa da partícula em quilogramas (kg).
  • Como frequentemente trabalhamos com massas molares em vez de massa por átomo, é mais prático usar a forma com a constante dos gases R:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde:
  • R é a constante universal dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\\ K)};
  • M é a massa molar em kg/mol.
  • Explicação do porquê: m=M/N_{\!A} e k_{\mathrm{B}}N_{\!A}=R, portanto a forma com R é equivalente e usa diretamente M.

Passo 3

Preparar os valores numéricos e unidades (conversões necessárias).
  • Converter a massa molar de argônio para kg/mol (peguei M_{\text{Ar}}=40\\ \mathrm{g/mol} do enunciado):
M_{\text{Ar}}=40\\ \mathrm{g/mol}=0{,}040\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Converter a temperatura de 20^\circ\mathrm{C} para kelvin:
T_1=20^\circ\mathrm{C}=20+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Anotar R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}.

Passo 4

Calcular a velocidade quadrática média em T_1=293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Usar a fórmula com R:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3RT_1}{M_{\text{Ar}}}}.
  • Calcular passo a passo os termos internos (faço as contas de forma a ser possível acompanhar sem pular etapas):
    • Primeiro 3RT_1:
    3RT_1=3\cdot 8{,}314\cdot 293{,}15.Calculei 8{,}314\cdot 293{,}15\approx 2\,437{,}2521 (multiplicação direta) e então 3RT_1\approx 3\cdot 2\,437{,}2521=7\,311{,}7563.
    • Agora dividir por M_{\text{Ar}}=0{,}040\\ \mathrm{kg/mol}:
    \frac{3RT_1}{M_{\text{Ar}}}\approx \frac{7\,311{,}7563}{0{,}040}=182\,793{,}9075.
    • Finalmente, a raiz quadrada:
    v_{\text{rms}}=\sqrt{182\,793{,}9075}\approx 427{,}6\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação rápida: esse valor significa que, em média quadrática, átomos de argônio movem-se a cerca de 4{,}3\times 10^{2}\\ \mathrm{m/s} à temperatura ambiente. Pode soar rápido, mas são átomos leves e a temperatura fornece muita energia térmica a nível microscópico.

Passo 5

Relação entre velocidade rms e temperatura: como encontrar temperaturas que alteram a velocidade por um fator.
  • Observação importante da fórmula: como v_{\text{rms}}=\sqrt{3RT/M}, para massa molar fixa (argônio) tem-se
v_{\text{rms}}\propto \sqrt{T}.
  • Dessa proporcionalidade, se queremos uma nova velocidade v_2 relacionada a v_1 por um fator, a relação entre temperaturas é:
\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\quad\Rightarrow\quad T_2=\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{2}T_1.
  • Essa fórmula é prática: basta elevar ao quadrado o fator de mudança de velocidade e multiplicar pela temperatura inicial.

Passo 6

Temperatura para reduzir a velocidade à metade.
  • Queremos v_2=\dfrac{v_1}{2}. Aplicando a relação:
T_{1/2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}T_1=\frac{1}{4}T_1.
  • Calcular numericamente com T_1=293{,}15\\ \mathrm{K}:
T_{1/2}=\frac{293{,}15}{4}=73{,}2875\\ \mathrm{K}\approx 73{,}29\\ \mathrm{K}.
  • Se desejar a temperatura em graus Celsius:
T_{1/2}(^\circ\mathrm{C})=73{,}2875-273{,}15\approx -199{,}8625^\circ\mathrm{C}\approx -199{,}86^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Temperatura para dobrar a velocidade.
  • Queremos v_2=2v_1. Aplicando a relação:
T_{2}=2^{2}T_1=4T_1.
  • Calcular numericamente:
T_{2}=4\cdot 293{,}15=1\,172{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Em graus Celsius:
T_{2}(^\circ\mathrm{C})=1\,172{,}6-273{,}15=899{,}45^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Resumo físico e incentivo (rapidinho).
  • Resultado: à temperatura ambiente o átomo de argônio tem velocidade rms da ordem de algumas centenas de metros por segundo.
  • Observação prática: reduzir a velocidade média à metade exige esfriar muito (para temperaturas criogênicas), enquanto dobrar a velocidade exige aquecer a temperaturas muito altas.
  • Bom trabalho! Isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: identificar a fórmula correta, fazer as conversões de unidades com cuidado e usar a proporcionalidade v_{\text{rms}}\propto\sqrt{T}.

Resposta

v_{\text{rms}}(20^\circ\mathrm{C})\approx 427{,}6\\ \mathrm{m/s}
T para v_{\text{rms}} reduzida à metade: T\approx 73{,}29\\ \mathrm{K} (≈ -199{,}86^\circ\mathrm{C})
T para v_{\text{rms}} dobrada: T\approx 1\,172{,}6\\ \mathrm{K} (≈ 899{,}45^\circ\mathrm{C})

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