1. Leia e responda corretamente os itens a seguir:
    a) A energia interna de um gás ideal depende do volume?
    b) Ela depende da pressão do gás?
    c) Calcule a energia interna de um mol de um gás ideal monoatômico a 273 K .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Perguntas do enunciado:
    a) A energia interna de um gás ideal depende do volume?
    b) A energia interna depende da pressão do gás?
    c) Calcule a energia interna de um mol de um gás ideal monoatômico a 273\\ \text{K}.
  • Dados fornecidos:
    • quantidade de substância: n=1 mol (para o item c).
    • tipo de gás: monoatômico (para o item c).
    • temperatura: T=273\\ \text{K} (para o item c).

Passo 2

Conceito e fórmula útil: energia interna de um gás ideal.
  • Definição prática: para um gás ideal, a energia interna total U é a soma das energias cinéticas das partículas (na aproximação ideal usual), e depende somente da temperatura macroscópica do gás.
  • Fórmula geral (por mols): U = n C_V T,
onde:
  • U é a energia interna total do gás (em joules, \mathrm{J});
  • n é o número de mols;
  • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}});
  • T é a temperatura termodinâmica (em kelvin, \mathrm{K}).
Explicação simples do porquê: C_V mede quanto a energia interna varia quando a temperatura varia mantendo-se o volume fixo. A equação diferencial correspondente é \mathrm{d}U = n C_V \,\mathrm{d}T, que mostra que mudanças em U estão relacionadas apenas a mudanças em T.

Passo 3

Relação com pressão e volume — resposta qualitativa dos itens (a) e (b).
  • A lei dos gases ideais é P V = n R T,
onde P é pressão, V é volume, R é a constante universal dos gases ( R\approx 8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • Como U = n C_V T, a energia interna depende apenas de T (e de n e C_V, que são propriedades do sistema). Como P e V aparecem apenas na relação P V = n R T, mudar P ou V sem alterar T não muda U.
  • Conclusões diretas:
    a) A energia interna de um gás ideal não depende do volume (resposta: não).
    b) A energia interna de um gás ideal não depende da pressão (resposta: não).
Breve justificativa alternativa (com diferencial): se \mathrm{d}T=0 então \mathrm{d}U = n C_V \,\mathrm{d}T = 0 mesmo que \mathrm{d}P ou \mathrm{d}V sejam diferentes de zero.

Passo 4

Capacidade calorífica molar C_V para gás monoatômico e porquê.
  • Teoria dos graus de liberdade: para um gás ideal monoatômico (átomos esféricos sem rotação significativa), só existem três graus de liberdade de translação (movimento nas três direções espaciais). Cada grau de liberdade contribui com \dfrac{1}{2}R à capacidade calorífica molar a volume constante. Assim,
    C_V = \frac{f}{2}\,R,
    onde f é o número de graus de liberdade. Para monoatômico f=3, então
    C_V = \frac{3}{2}R.
  • Para n=1 mol, a expressão da energia interna fica
    U = n C_V T = 1\cdot\frac{3}{2}R T = \frac{3}{2} R T.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo para n=1 mol, T=273\\ \text{K}.
  • Constante dos gases: R = 8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Fórmula aplicada: U = \frac{3}{2} R T.
  • Primeiro calcule R T:
    R T = 8{,}3145 \times 273.
    Fazendo a multiplicação por partes (sem calculadora):
    8{,}3145\times200 = 1\,662{,}900,
8{,}3145\times70 = 582{,}015,
8{,}3145\times3 = 24{,}9435.
Somando:
R T = 1\,662{,}900 + 582{,}015 + 24{,}9435 = 2\,269{,}8585.
  • Agora multiplique por \dfrac{3}{2}=1{,}5:
    U = 1{,}5 \times 2\,269{,}8585 = 3\,404{,}78775\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando a um número razoável de algarismos significativos (por exemplo três algarismos úteis), podemos escrever
    U \approx 3{,}405\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo.
  • Resultado físico: a energia interna de um mol de gás monoatômico a 273\\ \text{K} é cerca de 3{,}4\\ \text{kJ}. Isso é a energia associada ao movimento aleatório de translação das partículas.
  • Força-tarefa final: ficou muita conta, mas o essencial a levar para a prova é memorizar que para gás ideal U depende só de T e que, para monoatômico, U = \dfrac{3}{2} n R T. Tu vai mandar bem — repete esse raciocínio com outro T rapidinho que logo pega ritmo!

Resposta

a) Não.
b) Não.
c) U=\dfrac{3}{2}RT\approx 3{,}405\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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