a) A massa do planeta Saturno é
, e seu raio é
. Calcule sua densidade média.
b) Qual conclusão podemos chegar ao comparar a densidade do quilograma-padrão (questão 3) com a densidade do planeta Saturno?
b) Qual conclusão podemos chegar ao comparar a densidade do quilograma-padrão (questão 3) com a densidade do planeta Saturno?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular a densidade média do planeta Saturno, sabendo que sua massa é
e seu raio é
.
b) Comparar a densidade encontrada em (a) com a densidade do “quilograma-padrão” (mencionado na questão 3) e tirar uma conclusão.
Informações relevantes dadas:
- Massa:
. - Raio:
.
Passo 2
Definição básica que vamos usar: densidade média é massa dividida pelo volume. Em fórmula,
onde
é a densidade média (unidade SI:
),
é a massa (em
) e
é o volume (em
).
Explicação: densidade mede “quanta massa cabe em um certo volume”. Para corpos com forma aproximadamente esférica (como um planeta) usamos o volume da esfera.
Explicação: densidade mede “quanta massa cabe em um certo volume”. Para corpos com forma aproximadamente esférica (como um planeta) usamos o volume da esfera.
Passo 3
Volume de uma esfera: a fórmula é
onde
é o raio da esfera (em metros). Vou explicar cada símbolo:
é a constante 3,14159…,
significa
multiplicado por si mesmo três vezes, e o fator
vem da geometria da esfera. Agora vamos calcular passo a passo
.
Passo 4
Calcular
com
:
Detalhe do raciocínio: elevando potência de produto, elevamos cada fator;
e
ao cubo é
; reorganizamos para a forma científica
.
Passo 5
Agora o volume
:
Calculemos o coeficiente numérico:
. Então
Aproximando
,
Mostrei como chegar ao valor numérico aproximado do volume usando cálculo simples com notação científica.
Passo 6
Agora calculamos a densidade
. Substituindo
e
:
Para dividir potências de 10:
. Para os coeficientes:
. Então
Arredondando para três dígitos significativos fica
, ou seja
.
Conversão para
(útil para comparar com densidades cotidianas):
. Portanto
Passo 7
Comparação com o “quilograma-padrão”: o enunciado refere-se a um objeto físico que representa o quilograma padrão (o protótipo internacional era um cilindro de uma liga de platina-irídio). Não sei se a questão 3 deu uma densidade numérica, então vou usar a densidade típica dessa liga como exemplo para comparar (isso é uma suposição explícita para ilustrar a conclusão). A liga platina-irídio tem densidade aproximada de
(isto é
). Fazendo a razão:
Conclusão quantitativa: a densidade do quilograma‑padrão (se for a liga Pt‑Ir) é cerca de
vezes maior que a densidade média de Saturno. Conclusão qualitativa que vale mesmo sem assumir esse número: a densidade do quilograma‑padrão (um metal maciço) é muito maior que a densidade média de Saturno; Saturno tem densidade menor que a água (
), por isso diz-se que “Saturno flutuaria numa banheira gigante” — ele é um gigante gasoso com baixa densidade média.
Resposta
a)
.
b) A densidade do quilograma‑padrão (por exemplo, a liga Pt‑Ir
) é muito maior que a de Saturno — cerca de
vezes maior; em termos práticos, o quilograma‑padrão é muito mais denso e Saturno é menos denso que a água.