a) A massa do planeta Saturno é 5,64 \times 10^{26} \mathrm{~kg}, e seu raio é 6 \times 10^{7} \mathrm{~m}. Calcule sua densidade média.
b) Qual conclusão podemos chegar ao comparar a densidade do quilograma-padrão (questão 3) com a densidade do planeta Saturno?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular a densidade média do planeta Saturno, sabendo que sua massa é 5,64\times 10^{26}\\ \mathrm{kg} e seu raio é 6\times 10^{7}\\ \mathrm{m}.
b) Comparar a densidade encontrada em (a) com a densidade do “quilograma-padrão” (mencionado na questão 3) e tirar uma conclusão.
Informações relevantes dadas:
  • Massa: M = 5,64\times 10^{26}\\ \mathrm{kg}.
  • Raio: R = 6\times 10^{7}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Definição básica que vamos usar: densidade média é massa dividida pelo volume. Em fórmula,
\rho = \frac{M}{V},
onde \rho é a densidade média (unidade SI: \mathrm{kg/m^{3}}), M é a massa (em \mathrm{kg}) e V é o volume (em \mathrm{m^{3}}).
Explicação: densidade mede “quanta massa cabe em um certo volume”. Para corpos com forma aproximadamente esférica (como um planeta) usamos o volume da esfera.

Passo 3

Volume de uma esfera: a fórmula é
V = \frac{4}{3}\pi R^{3},
onde R é o raio da esfera (em metros). Vou explicar cada símbolo: \pi é a constante 3,14159…, R^{3} significa R multiplicado por si mesmo três vezes, e o fator \tfrac{4}{3} vem da geometria da esfera. Agora vamos calcular passo a passo R^{3}.

Passo 4

Calcular R^{3} com R = 6\times 10^{7}\\ \mathrm{m}:
R^{3} = (6\times 10^{7})^{3} = 6^{3}\times (10^{7})^{3} = 216\times 10^{21} = 2,16\times 10^{23}\\ \mathrm{m^{3}}.
Detalhe do raciocínio: elevando potência de produto, elevamos cada fator; 6^{3}=216 e 10^{7} ao cubo é 10^{21}; reorganizamos para a forma científica 2,16\times 10^{23}.

Passo 5

Agora o volume V:
V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi \cdot 2,16\times 10^{23}.
Calculemos o coeficiente numérico: \tfrac{4}{3}\cdot 2,16 = 2,88. Então
V = 2,88\pi \times 10^{23}\\ \mathrm{m^{3}}.
Aproximando \pi \approx 3,1416,
V \approx 2,88\times 3,1416 \times 10^{23} \approx 9,05\times 10^{23}\\ \mathrm{m^{3}}.
Mostrei como chegar ao valor numérico aproximado do volume usando cálculo simples com notação científica.

Passo 6

Agora calculamos a densidade \rho = M/V. Substituindo M = 5,64\times 10^{26}\\ \mathrm{kg} e V \approx 9,05\times 10^{23}\\ \mathrm{m^{3}}:
\rho \approx \frac{5,64\times 10^{26}}{9,05\times 10^{23}}.
Para dividir potências de 10: 10^{26}/10^{23}=10^{3}. Para os coeficientes: 5,64/9,05 \approx 0,6236. Então
\rho \approx 0,6236\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 6,236\times 10^{2}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Arredondando para três dígitos significativos fica \rho \approx 6,24\times 10^{2}\\ \mathrm{kg/m^{3}}, ou seja \rho \approx 624\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Conversão para \mathrm{g/cm^{3}} (útil para comparar com densidades cotidianas): 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Portanto
\rho \approx \frac{624}{1000}\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 0,624\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 7

Comparação com o “quilograma-padrão”: o enunciado refere-se a um objeto físico que representa o quilograma padrão (o protótipo internacional era um cilindro de uma liga de platina-irídio). Não sei se a questão 3 deu uma densidade numérica, então vou usar a densidade típica dessa liga como exemplo para comparar (isso é uma suposição explícita para ilustrar a conclusão). A liga platina-irídio tem densidade aproximada de 21,5\\ \mathrm{g/cm^{3}} (isto é 2,15\times 10^{4}\\ \mathrm{kg/m^{3}}). Fazendo a razão:
\frac{\rho_{\text{Pt‑Ir}}}{\rho_{\text{Saturno}}} \approx \frac{21,5}{0,624} \approx 34{,}5.
Conclusão quantitativa: a densidade do quilograma‑padrão (se for a liga Pt‑Ir) é cerca de 34 vezes maior que a densidade média de Saturno. Conclusão qualitativa que vale mesmo sem assumir esse número: a densidade do quilograma‑padrão (um metal maciço) é muito maior que a densidade média de Saturno; Saturno tem densidade menor que a água ( 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}), por isso diz-se que “Saturno flutuaria numa banheira gigante” — ele é um gigante gasoso com baixa densidade média.

Resposta

a) \rho_{\text{Saturno}}\approx 6,24\times 10^{2}\\ \mathrm{kg/m^{3}} \;=\; 0,624\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
b) A densidade do quilograma‑padrão (por exemplo, a liga Pt‑Ir \approx 21,5\\ \mathrm{g/cm^{3}}) é muito maior que a de Saturno — cerca de 34 vezes maior; em termos práticos, o quilograma‑padrão é muito mais denso e Saturno é menos denso que a água.

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