Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio 5,00 \mathrm{~m}. Se ele anda ao redor de metade do círculo, encontre (a) o módulo do vetor deslocamento e (b) que distância a pessoa patinou. (c) Qual é o módulo do deslocamento se ele patina por toda a volta ao redor do círculo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Dados:
    • Raio da trajetória: \,5,00\\ \mathrm{m}.
    • O patinador percorre metade do círculo (metade da volta) no item (a) e (b).
    • No item (c) considera-se que ele patina por toda a volta (volta completa).
  • Perguntas:
    • (a) Qual o módulo do vetor deslocamento quando ele anda ao redor de metade do círculo?
    • (b) Qual a distância que a pessoa patinou ao percorrer metade do círculo?
    • (c) Qual é o módulo do deslocamento se ele patina por toda a volta ao redor do círculo?

Passo 2

Vamos lembrar duas ideias fundamentais (explicação didática, sem pular etapas):
  • Distância percorrida (ou caminho): é um escalar que mede o comprimento da trajetória que a pessoa segue. Se você andar seguindo uma curva, a distância é o comprimento dessa curva — sempre não negativa e cresce com o percurso.
  • Deslocamento: é um vetor que vai do ponto inicial ao ponto final. O módulo do deslocamento é simplesmente a distância em linha reta entre início e fim. Importante: mesmo que você rode muito, se voltar ao ponto de partida o deslocamento é zero.
Vou usar essas definições para interpretar os pedidos: (b) pede distância (comprimento do arco); (a) e (c) pedem módulo do deslocamento (comprimento da reta ligando início e fim).

Passo 3

Fórmula útil para comprimentos de arco (distância ao longo de uma circunferência):
  • Se um ponto descreve um arco com ângulo central \theta (em radianos) em um círculo de raio R, o comprimento do arco é dado por
s = R\theta.
Aqui s é a distância percorrida ao longo do arco, R é o raio e \theta é o ângulo central em radianos.
Observação sobre radianos: uma volta completa tem \theta = 2\pi rad; meia volta tem \theta = \pi rad. Usamos radianos nas fórmulas de arco porque elas vêm diretamente da definição do radiano.

Passo 4

Calculando a distância percorrida para meia volta (item (b)) usando a fórmula do arco.
  • Raio R= \,5,00\\ \mathrm{m}.
  • Meia volta \Rightarrow \theta=\pi rad.
Aplicando
s = R\theta = 5,00\cdot\pi.
Para obter um valor numérico podemos usar \pi\approx3,14159265, então
s \approx 5,00\times3,14159265=15,7079625\\ \mathrm{m}.
Arredondando com duas casas decimais (mantendo formato semelhante ao dado inicial \,5,00\\ \mathrm{m}) obtemos 15,71\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calculando o módulo do deslocamento para meia volta (item (a)).
  • Geometricamente, depois de meia volta o ponto final está exatamente no lado oposto do círculo em relação ao ponto inicial — eles são extremos de um diâmetro. A distância em linha reta entre esses dois pontos é, portanto, o diâmetro do círculo.
  • Diâmetro em função do raio:
\text{diâmetro} = 2R.â
Com R=5,00\\ \mathrm{m} temos
\text{módulo do deslocamento} = 2\cdot5,00 = 10,00\\ \mathrm{m}.ó
Observação extra (fórmula geral de corda, útil se fosse outro ângulo): para um arco com ângulo \theta o comprimento da corda (deslocamento em linha reta entre os extremos) é
\text{corda} = 2R\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Aplicando \theta=\pi 2R\sin(\pi/2)=2R\cdot1=2R, concordando com o argumento do diâmetro.

Passo 6

Deslocamento para volta completa (item (c)).
  • Se o patinador dá uma volta completa ele volta ao ponto inicial. Pelo conceito de deslocamento (vetor do início ao fim), início = fim implica vetor deslocamento igual ao vetor nulo.
  • Portanto o módulo do deslocamento é 0. (A distância percorrida nesse caso seria o comprimento da circunferência \,2\pi R, mas o enunciado do item (c) pede só o módulo do deslocamento.)

Resposta

(a) 10,00\\ \mathrm{m}
(b) 15,71\\ \mathrm{m}
(c) 0,00\\ \mathrm{m}

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