Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio
. Se ele anda ao redor de metade do círculo, encontre (a) o módulo do vetor deslocamento e (b) que distância a pessoa patinou. (c) Qual é o módulo do deslocamento se ele patina por toda a volta ao redor do círculo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
-
Dados:
- Raio da trajetória:
. - O patinador percorre metade do círculo (metade da volta) no item (a) e (b).
- No item (c) considera-se que ele patina por toda a volta (volta completa).
- Raio da trajetória:
-
Perguntas:
- (a) Qual o módulo do vetor deslocamento quando ele anda ao redor de metade do círculo?
- (b) Qual a distância que a pessoa patinou ao percorrer metade do círculo?
- (c) Qual é o módulo do deslocamento se ele patina por toda a volta ao redor do círculo?
Passo 2
Vamos lembrar duas ideias fundamentais (explicação didática, sem pular etapas):
-
Distância percorrida (ou caminho): é um escalar que mede o comprimento da trajetória que a pessoa segue. Se você andar seguindo uma curva, a distância é o comprimento dessa curva — sempre não negativa e cresce com o percurso.
-
Deslocamento: é um vetor que vai do ponto inicial ao ponto final. O módulo do deslocamento é simplesmente a distância em linha reta entre início e fim. Importante: mesmo que você rode muito, se voltar ao ponto de partida o deslocamento é zero.
Vou usar essas definições para interpretar os pedidos: (b) pede distância (comprimento do arco); (a) e (c) pedem módulo do deslocamento (comprimento da reta ligando início e fim).
Passo 3
Fórmula útil para comprimentos de arco (distância ao longo de uma circunferência):
- Se um ponto descreve um arco com ângulo central
(em radianos) em um círculo de raio , o comprimento do arco é dado por
Aqui
é a distância percorrida ao longo do arco,
é o raio e
é o ângulo central em radianos.
Observação sobre radianos: uma volta completa tem
rad; meia volta tem
rad. Usamos radianos nas fórmulas de arco porque elas vêm diretamente da definição do radiano.
Passo 4
Calculando a distância percorrida para meia volta (item (b)) usando a fórmula do arco.
- Raio
. - Meia volta
rad.
Aplicando
Para obter um valor numérico podemos usar
, então
Arredondando com duas casas decimais (mantendo formato semelhante ao dado inicial
) obtemos
.
Passo 5
Calculando o módulo do deslocamento para meia volta (item (a)).
-
Geometricamente, depois de meia volta o ponto final está exatamente no lado oposto do círculo em relação ao ponto inicial — eles são extremos de um diâmetro. A distância em linha reta entre esses dois pontos é, portanto, o diâmetro do círculo.
-
Diâmetro em função do raio:
Com
temos
Observação extra (fórmula geral de corda, útil se fosse outro ângulo): para um arco com ângulo
o comprimento da corda (deslocamento em linha reta entre os extremos) é
Aplicando
dá
, concordando com o argumento do diâmetro.
Passo 6
Deslocamento para volta completa (item (c)).
-
Se o patinador dá uma volta completa ele volta ao ponto inicial. Pelo conceito de deslocamento (vetor do início ao fim), início = fim implica vetor deslocamento igual ao vetor nulo.
-
Portanto o módulo do deslocamento é
. (A distância percorrida nesse caso seria o comprimento da circunferência , mas o enunciado do item (c) pede só o módulo do deslocamento.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)