O mastro AB de 5 m se apoia no plano y-z. Se o cabo exerce uma força \mathrm{F}=500 \mathrm{~N} em B. Determine o momento gerado por esta força em relação ao ponto A.

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Figure 1: \mathrm{MA}=2014,2 \mathrm{~N} . \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\text{-- O mastro }AB\text{ tem comprimento }5\\ \text{m.}
\text{-- O mastro }AB\text{ está apoiado no plano }y\text{-}z.á
\text{-- Há uma força de cabo de magnitude }F=500\\ \text{N aplicada em }B.áç
Observação importante: eu não consigo ver a figura que você anexou (não tenho acesso ao conteúdo da imagem), então não tenho as informações geométricas necessárias que normalmente vêm da figura: a posição exata de B (ou o ângulo que o mastro faz no plano y\!-\!z) e a direção do cabo (isto é, as componentes ou os ângulos que definem a direção da força \mathbf{F}). Sem esses dados numéricos/angulares não é possível calcular numericamente o momento em relação a A. Abaixo eu explico passo a passo o método correto e dou fórmulas que você poderá aplicar assim que me passar (ou descrever) a direção do cabo ou as coordenadas de B.

Passo 2

Conceito-chave: o momento da força em relação a um ponto A é o vetor momento
\mathbf{M}_A=\mathbf{r}_{A\to B}\times\mathbf{F},
onde:
\mathbf{r}_{A\to B}
é o vetor posição que vai de A até B (tem dimensão de comprimento) e
\mathbf{F}
é o vetor força aplicado em B (tem dimensão de força). O símbolo \times é o produto vetorial (ou produto cruzado). Intuição: \mathbf{M}_A mede a tendência da força de girar o mastro em torno de A; sua direção é dada pela regra da mão direita e seu módulo é |\mathbf{M}_A|=|\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\varphi, onde \varphi é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}.

Passo 3

Como o mastro está no plano y\text{-}z, o vetor posição tem componente x nula. Escrevemos
\mathbf{r}_{A\to B}=(0,y_B,z_B).
Além disso, como o comprimento de AB é 5 m, vale
\sqrt{y_B^2+z_B^2}=5.
A força pode ser escrita em componentes como
\mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z).
Se em vez das componentes você souber um versor (vetor unitário) da direção do cabo \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z), então \mathbf{F}=500\,\mathbf{u}.

Passo 4

O produto vetorial em coordenadas cartesianas é calculado por
\mathbf{M}_A=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ r_x & r_y & r_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Aqui \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} são os vetores unitários nas direções x,y,z, respectivamente. No nosso caso r_x=0, logo as componentes do momento ficam mais simples e valem:
M_x=r_yF_z-r_zF_y,
M_y=r_zF_x-r_xF_z=r_zF_x,
M_z=r_xF_y-r_yF_x=-\,r_yF_x.
Expliquei: para M_y usei que r_x=0 e para M_z também.

Passo 5

Se preferir parametrizar a posição de B por um ângulo no plano y\text{-}z, escolha, por exemplo, \theta como o ângulo que \overrightarrow{AB} faz com o eixo z (rotacionando para o eixo y). Assim podemos escrever
y_B=5\sin\theta,\qquad z_B=5\cos\theta,
com 0\le\theta<2\pi. Substituindo em \mathbf{r} e nas fórmulas do passo anterior, obtemos expressões em função de \theta e das componentes de \mathbf{F}.

Passo 6

Colocando tudo junto (usando a parametrização por \theta e supondo \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) ou \mathbf{F}=500\,(u_x,u_y,u_z)) o vetor momento fica:
\mathbf{M}_A=\bigl(M_x,M_y,M_z\bigr),
com
M_x=5\sin\theta\;F_z-5\cos\theta\;F_y,
M_y=5\cos\theta\;F_x,
M_z=-5\sin\theta\;F_x.
Se usar a forma com versor \mathbf{u} e F=500, então
\mathbf{M}_A=5\cdot 500\begin{pmatrix} \sin\theta\,u_z-\cos\theta\,u_y\\[4pt] \cos\theta\,u_x\\[4pt] -\sin\theta\,u_x \end{pmatrix}.
Isto é uma fórmula geral: para obter números basta substituir \theta (posição de B) e \mathbf{u} (direção do cabo) vindos da figura.]

Passo 7

Outra forma prática (às vezes mais direta) é usar a fórmula do módulo do momento:
|\mathbf{M}_A|=|\mathbf{r}||\mathbf{F}|\sin\varphi=5\cdot 500\sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}. Você encontra \varphi por produto escalar:
\cos\varphi=\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{F}}{|\mathbf{r}||\mathbf{F}|}=\frac{r_xF_x+r_yF_y+r_zF_z}{5\cdot 500}.
Depois de \varphi conhecido, |\mathbf{M}_A| é imediato; o sentido é dado pela regra da mão direita aplicada a \mathbf{r}\times\mathbf{F}.

Passo 8

Exemplo concreto para fixar (isto é só um exemplo pedagógico — não estou supondo que esse seja o seu caso, é só para você entender como calcular quando tiver os dados):
  • Se o mastro estivesse exatamente ao longo do eixo z (ou seja, \theta=0, então \mathbf{r}=(0,0,5)) e se a força do cabo fosse puramente na direção positiva x (ou seja, \mathbf{F}=(500,0,0)), então pelo produto vetorial:
\mathbf{M}_A=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 0 & 5 \\\\ 500 & 0 & 0 \end{vmatrix}=(0,2500,0)\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Isso mostra a mecânica do cálculo em um caso simples.

Passo 9

Resumo do que falta para eu dar a resposta numérica final:
\text{(a) as coordenadas de }B\text{, ou o ângulo }\theta\text{ que determina }(y_B,z_B);â
\text{(b) a direção do cabo, dada por componentes }(u_x,u_y,u_z)\text{ ou por ângulos,}çãâ
pois com esses dados eu substituo nas fórmulas do passo 6 e retorno o vetor momento numérico completo (componentes e módulo). Se preferir, você pode me dizer: (i) as coordenadas de B ou o ângulo do mastro no plano y\text{-}z; e (ii) a direção do cabo (por exemplo, um ângulo em relação a um eixo ou três componentes do versor). Mando o cálculo numérico na hora.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o momento em relação a A porque a figura (que contém a posição exata de B e/ou a direção do cabo) não está acessível para mim; faltam as componentes de \mathbf{r}_{A\to B} ou as componentes/ângulos de \mathbf{F}.

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