Em matemática, um ponto crítico, também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada (a curvatura) da função. A implicação inversa também é verdadeira para extremos locais, ou seja, um ponto é um máximo ou mínimo relativo se e só se for um ponto crítico. Tal já não é verdade para máximos e mínimos absolutos. Também um ponto de inflexão claramente não implica uma primeira derivada nula. Qual o valor ponto crítico da função f, dada por: f(x,y)= -4x^2 - 3y^2 + 2x - 3y + 2xy + 1 Escolha uma:
a. -3/22 ; 34/22.
b. 3/22 ; -10/22 .
c. 0 ; -1.
d. 1 ; 0.
e. 0 ; 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre pontos críticos de uma função, que são onde as derivadas parciais em relação a cada variável são iguais a zero. Isso nos ajuda a encontrar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na função. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função dada e resolver um sistema de equações para achar os valores de $ x $ e $ y $ que tornam essas derivadas iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = -4x^2 - 3y^2 + 2x - 3y + 2xy + 1 $.
A derivada parcial em relação a $ x $ ($ f_x $) é calculada tratando $ y $ como constante:
f(x, y) = -4x^2 - 3y^2 + 2x - 3y + 2xy + 1
A derivada parcial em relação a $ y $ ($ f_y $) é calculada tratando $ x $ como constante:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos ambas as derivadas a zero:
-8x + 2 + 2y = 0 -6y - 3 + 2x = 0
Isso nos dá um sistema de equações que vamos resolver para $ x $ e $ y $.

Passo 4

Vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
-8x + 2 + 2y = 0 implies -8x + 2y = -2 (1)
Segunda equação:
-6y - 3 + 2x = 0 implies 2x - 6y = 3 (2)
Podemos simplificar a equação (2) dividindo tudo por 2:
x - 3y = 32 (2')
Agora, vamos expressar $ x $ em termos de $ y $ na equação (2’):
x
Substituímos essa expressão na equação (1):
y
x = 3y + 32
-8(3y + 32) + 2y = -2
-24y - 12 + 2y = -2
-22y - 12 = -2
Agora, substituímos $ y = -\frac{5}{11} $ na expressão de $ x $:
-22y = 10

Passo 5

Encontramos que o ponto crítico é $ \left( \frac{3}{22}, -\frac{5}{11} \right) $. Observando as opções fornecidas, parece que há uma pequena discrepância no valor de $ y $. A opção mais próxima é a letra b. $ \frac{3}{22} ; -\frac{10}{22} $, onde $ -\frac{10}{22} $ simplifica para $ -\frac{5}{11} $, que é o mesmo que encontramos.

Resposta

b. $ \frac{3}{22} ; -\frac{10}{22} $

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