Para materiais Hookianos, como se pode calcular a rigidez doa materiais?
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar como calcular a rigidez de materiais Hookeanos.
Informações relevantes (o que normalmente precisamos ter para calcular a rigidez): geometria da amostra (comprimento , área da seção
, momento de inércia
, polar momento
, etc.), carga aplicada
(ou torque
), deslocamento ou deformação medido (
,
,
, etc.), e as propriedades elásticas do material (módulo de Young
, módulo de cisalhamento
, coeficiente de Poisson
).
Observação: “rigidez” pode significar duas coisas próximas, então vamos entender ambas: (i) rigidez material (propriedade intrínseca: ,
, etc.) e (ii) rigidez estrutural ou equivalente (constante linhares tipo mola
, que relaciona força a deslocamento). A resolução segue explicando e mostrando como calcular cada uma.
Informações relevantes (o que normalmente precisamos ter para calcular a rigidez): geometria da amostra (comprimento
Observação: “rigidez” pode significar duas coisas próximas, então vamos entender ambas: (i) rigidez material (propriedade intrínseca:
Passo 2
Conceito básico — Lei de Hooke em 1D (mola): comece pelo modelo mais simples para entender a ideia. A lei de Hooke para uma mola linear diz que a força é proporcional ao deslocamento:
onde
é a força,
é o deslocamento e
é a rigidez da mola (unidade:
). Isso é o que queremos generalizar para um corpo elástico: encontrar uma constante
que relaciona força aplicada a deslocamento resultante.
Passo 3
Definição de tensão e deformação para tração/compressão axial (conceitos chave para materiais Hookeanos).
Tensão (stress): é força por unidade de área,
Tensão (stress): é força por unidade de área,
onde
é a tensão (
),
a força normal e
a área da seção transversal.
Deformação (strain): é a variação relativa do comprimento,
Deformação (strain): é a variação relativa do comprimento,
onde
é a mudança no comprimento e
o comprimento original.
Passo 4
Lei de Hooke para materiais (material Hookeano, 1D): a relação linear entre tensão e deformação é
onde
é o módulo de Young (módulo elástico) do material. Explicando cada termo:
mede quanto “força por área” temos;
mede quanto o corpo estica proporcionalmente;
é a constante que diz quanto o material “resiste” à deformação (maior
= material mais rígido).
Passo 5
Como usar as definições para obter
a partir de um ensaio de tração (prática de laboratório ou prova). Substitua
e
nas fórmulas:
Isolando
,
Interpretação prática: se você aplica uma força
e mede alongamento
, com a geometria
pode calcular
. Isso mostra a diferença entre rigidez do material (
) e rigidez da estrutura (próximo passo).
Passo 6
Rigidez axial equivalente de uma barra (transformando o material numa “mola” linear). Partindo de
rearranjamos para expressar
em função de
:
Comparando com
, vemos que a rigidez axial da barra é
Explicação intuitiva: aumentar área
aumenta a rigidez; aumentar comprimento
diminui a rigidez; aumentar
(material mais rígido) aumenta a rigidez. Unidades conferem:
, então
, OK.
Passo 7
Outros modos de carregamento comuns (fórmulas e interpretações rápidas):
- Cisailhamento simples: a lei de Hooke para cisalhamento é
onde
é tensão de cisalhamento,
é o módulo de cisalhamento e
a deformação de cisalhamento. A rigidez ao cisalhamento em forma análoga é
(em problemas reais a constante geométrica pode variar, mas essa é a forma básica).
- Torção (barra circular): o torque
e a rotação satisfazem (para uma barra de comprimento )
onde
é o momento polar de inércia da seção. Assim a rigidez torsional é
- Flexão (pendente a uma viga): a propriedade relevante é a rigidez à flexão (rigidez flexural) dada por
— o produto do módulo de Young pelo segundo momento de área. Exemplo clássico: viga em balanço (cantilever) com carga concentrada na extremidade tem deslocamento vertical
Logo a rigidez equivalente na ponta é
Explanação:
depende da geometria da seção (por ex., seção retangular de base
e altura
tem
).
Passo 8
Relações entre constantes elásticas em materiais isotrópicos (úteis se você souber
e
ou
, etc.). Para um material isotrópico linear:
e o primeiro parâmetro de Lamé
A forma tensorial da Lei de Hooke em 3D é
onde
e
são tensões e deformações componentes,
é o delta de Kronecker e
a dilatação volumétrica. Isso é a versão geral da linearidade que reduz nas situações 1D anteriores.
Passo 9
Receita prática para resolver em prova (passo a passo bem objetivo):
- Identifique o modo de carregamento: tração/ compressão axial, cisalhamento, torção ou flexão.
- Leia a geometria:
. - Se souber o comportamento material: pegue
(ou e ). - Use a fórmula certa:
- tração axial:
, - cisalhamento (aprox.):
, - torção:
, - flexão (cantilever ponta):
.
- tração axial:
- Verifique unidades e plausibilidade (ordem de grandeza).
Dica amiga: se recebere deslocamento já medido, calcule . Se receber e geometria, use as fórmulas acima para obter .