Um material desconhecido foi avaliado em laboratório através de 2 tipos de ensaios, sendo 10 ensaios de tração simples e 10 de compressão simples. O comportamento dos materiais foi linear elástico até o escoamento. As componentes de tensões limites de escoamento obtidas para estes ensaios são 140 Mpa em tração e -140 Mpa em compressão.
Dentre os dois critérios abaixo, qual é o mais representativo para o material?
( )Drucker-Prager ()von Mises

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado pede é: temos um material que rende a 140 MPa em tração e a –140 MPa em compressão (linear-elástico até o escoamento). Querem saber qual critério de escoamento, Drucker–Prager ou von Mises, descreve melhor esse comportamento.
Conteúdo: critérios de escoamento para materiais dúcteis (teoria da plasticidade). Vamos precisar das expressões do critério de von Mises e do critério de Drucker–Prager e ver como eles tratam tensão hidrostática (diferença tração vs compressão).

Passo 2

Vamos começar pelo critério de von Mises.
  • A ideia chave é que ele só “olha” para a parte desviadora da tensão, ignorando o chamado “I₁” (tração ou compressão volumétrica).
  • A função de escoamento é
Frm vM = raiztfrac32,sijsij;-;sigmay ;=;0,
onde raiztfrac32,sijsij=sigma, é o tensor de tensões desviadoras e é a tensão de escoamento uniaxial.
  • Em ensaio de tração simples ( , ): então o critério prevê escoar exatamente quando .
  • Em compressão ( , outros zero) a mesma conta dá de novo. Logo ele rende para , isto é, simétrico tensão–compressão.

Passo 3

Agora o critério de Drucker–Prager.
  • Ele inclui dependência da primeira invariante Frm DP = alpha,I1 ;+;raizJ2;-;k ;=;0, , \emph{ou seja} traz efeito da pressão média:
com , e parâmetros a ajustar.
  • Em tração simples: , . Logo
  • Em compressão: , . Então

Passo 4

Agora igualamos 140l(alpha+tfrac1raiz3r) = 140l(-alpha+tfrac1raiz3r) Rightarrow 2,alpha,140=0 Rightarrow alpha=0 das duas equações para caber os dois pontos experimentais ( MPa, MPa):
[
140\bigl(\alpha+\tfrac1{\sqrt3}\bigr)

140\bigl(-\alpha+\tfrac1{\sqrt3}\bigr)
\quad\Rightarrow\quad
2,\alpha,140=0
\quad\Rightarrow\quad
\alpha=0.
]
Se , o critério de Drucker–Prager vira exatamente o de von Mises ( ), ou seja, perde toda dependência de .

Passo 5

Conclusão: como as tensões de escoamento em tração e compressão são iguais em valor absoluto, o material não mostra sensibilidade à pressão média. Isso casa perfeitamente com von Mises (que é puramente desviador) e só “caberia” no Drucker–Prager se , ou seja, ele se torna o próprio von Mises.

Resposta

O critério de von Mises é o mais representativo para esse material.

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