Um material desconhecido foi avaliado em laboratório através de 2 tipos de ensaios, sendo 10 ensaios de tração simples e 10 de compressão simples. O comportamento dos materiais foi linear elástico até o escoamento. As componentes de tensões limites de escoamento obtidas para estes ensaios são 140 Mpa em tração e -140 Mpa em compressão.
Dentre os dois critérios abaixo, qual é o mais representativo para o material?
( )Drucker-Prager ()von Mises
Dentre os dois critérios abaixo, qual é o mais representativo para o material?
( )Drucker-Prager ()von Mises
Passo 1
Beleza, então o que o enunciado pede é: temos um material que rende a 140 MPa em tração e a –140 MPa em compressão (linear-elástico até o escoamento). Querem saber qual critério de escoamento, Drucker–Prager ou von Mises, descreve melhor esse comportamento.
Conteúdo: critérios de escoamento para materiais dúcteis (teoria da plasticidade). Vamos precisar das expressões do critério de von Mises e do critério de Drucker–Prager e ver como eles tratam tensão hidrostática (diferença tração vs compressão).
Conteúdo: critérios de escoamento para materiais dúcteis (teoria da plasticidade). Vamos precisar das expressões do critério de von Mises e do critério de Drucker–Prager e ver como eles tratam tensão hidrostática (diferença tração vs compressão).
Passo 2
Vamos começar pelo critério de von Mises.
- A ideia chave é que ele só “olha” para a parte desviadora da tensão, ignorando o chamado “I₁” (tração ou compressão volumétrica).
- A função de escoamento é
onde
é o tensor de tensões desviadoras e
é a tensão de escoamento uniaxial.
- Em ensaio de tração simples (
, ): então o critério prevê escoar exatamente quando . - Em compressão (
, outros zero) a mesma conta dá de novo. Logo ele rende para , isto é, simétrico tensão–compressão.
Passo 3
Agora o critério de Drucker–Prager.
- Ele inclui dependência da primeira invariante
, \emph{ou seja} traz efeito da pressão média:
com
, e
parâmetros a ajustar.
- Em tração simples:
, . Logo
- Em compressão:
, . Então
Passo 4
Agora igualamos
das duas equações para caber os dois pontos experimentais (
MPa,
MPa):
[
140\bigl(\alpha+\tfrac1{\sqrt3}\bigr)
140\bigl(-\alpha+\tfrac1{\sqrt3}\bigr)
\quad\Rightarrow\quad
2,\alpha,140=0
\quad\Rightarrow\quad
\alpha=0.
]
\quad\Rightarrow\quad
2,\alpha,140=0
\quad\Rightarrow\quad
\alpha=0.
]
Se
, o critério de Drucker–Prager vira exatamente o de von Mises (
), ou seja, perde toda dependência de
.
Passo 5
Conclusão: como as tensões de escoamento em tração e compressão são iguais em valor absoluto, o material não mostra sensibilidade à pressão média. Isso casa perfeitamente com von Mises (que é puramente desviador) e só “caberia” no Drucker–Prager se
, ou seja, ele se torna o próprio von Mises.
Resposta
O critério de von Mises é o mais representativo para esse material.