Para um material linear elástico sob um estado de tensão uniaxial ( \sigma ), a densidade de energia de deformação ( \boldsymbol{u} ) pode ser expressa em função do Módulo de Elasticidade ( \boldsymbol{E} ) como:
Escolha uma opção:
◯ a. \quad \boldsymbol{u}=\frac{1}{2} \sigma^{2} E
◯ b. \quad \boldsymbol{u}=\frac{\sigma^{2}}{2 E}
◯ c. \quad \boldsymbol{u}=\frac{\sigma^{2}}{E}
◯ d. \quad \boldsymbol{u}=\sigma E
◯ e. \quad \boldsymbol{u}=\frac{\sigma}{2 E}

Passo 1

O enunciado pede a densidade de energia de deformação \boldsymbol{u} para um material linear elástico submetido a um estado de tensão uniaxial \sigma, expressa em função do Módulo de Elasticidade \boldsymbol{E}. Informações relevantes fornecidas:
  • Tensões são uniaxiais e o material é linear elástico.
  • Variáveis envolvidas: \sigma (tensão), \boldsymbol{E} (Módulo de Elasticidade) e busca-se \boldsymbol{u} (densidade de energia de deformação).
  • As alternativas apresentam expressões em termos de \sigma e E.

Passo 2

Conhecemos a relação linear entre tensão e deformação (Lei de Hooke) no regime elástico linear uniaxial. Definições e significado das variáveis:
  • \varepsilon é a deformação uniaxial (mudança relativa de comprimento).
  • \sigma é a tensão aplicada (força por área).
  • \boldsymbol{E} é o Módulo de Elasticidade (constante que relaciona tensão e deformação).
    A Lei de Hooke escreve-se como
\(\sigma = E\,\varepsilon\).
Isto significa que, para pequena deformação e material linear, a tensão é proporcional à deformação com constante de proporcionalidade E.

Passo 3

Agora precisamos lembrar o que é densidade de energia de deformação (energia elástica por unidade de volume). Fisicamente, quando deformamos o corpo, fazemos trabalho que fica armazenado como energia elástica. A contribuição infinitesimal de trabalho por unidade de volume ao aumentar a deformação de \varepsilon' para \varepsilon'+\mathrm{d}\varepsilon' é \sigma(\varepsilon')\,\mathrm{d}\varepsilon'. Assim a densidade de energia até \varepsilon é a integral
\(\boldsymbol{u}=\int_{0}^{\varepsilon} \sigma(\varepsilon')\,\mathrm{d}\varepsilon'\).
Essa fórmula é muito importante: energia por volume = área sob a curva tensão × deformação, desde 0 até \varepsilon.

Passo 4

Como o material é linear elástico, substituímos \sigma(\varepsilon') = E\,\varepsilon' dentro da integral. Calculamos a integral passo a passo:
\(\boldsymbol{u}=\int_{0}^{\varepsilon} E\,\varepsilon'\,\mathrm{d}\varepsilon' = E \int_{0}^{\varepsilon} \varepsilon'\,\mathrm{d}\varepsilon'\).
Integrando \varepsilon' em relação a \varepsilon':
\(\int_{0}^{\varepsilon} \varepsilon'\,\mathrm{d}\varepsilon' = \left.\tfrac{1}{2}\varepsilon'^{2}\right|_{0}^{\varepsilon} = \tfrac{1}{2}\varepsilon^{2}\).
Portanto
\(\boldsymbol{u} = E \cdot \tfrac{1}{2}\varepsilon^{2} = \tfrac{1}{2}E\,\varepsilon^{2}\).

Passo 5

Queremos a expressão em função de \sigma e E. Usamos \varepsilon = \sigma/E (inversa da Lei de Hooke) e substituímos em \boldsymbol{u}=\tfrac{1}{2}E\,\varepsilon^{2}. Fazendo as contas:
\(\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E}\),
\(\boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}E\left(\dfrac{\sigma}{E}\right)^{2} = \tfrac{1}{2}E\cdot\dfrac{\sigma^{2}}{E^{2}} = \dfrac{\sigma^{2}}{2E}\).
Assim obtemos a expressão final para a densidade de energia de deformação em termos de \sigma e E.

Passo 6

Observações e formas equivalentes úteis para a prova:
  • A forma compacta geral é \boldsymbol{u}=\tfrac{1}{2}\sigma\varepsilon. Usando \sigma=E\varepsilon ou \varepsilon=\sigma/E você obtém as outras formas \tfrac{1}{2}E\varepsilon^{2} ou \dfrac{\sigma^{2}}{2E}.
  • Exemplo numérico rápido para fixar: se E=200\!\times\!10^{9}\,\mathrm{Pa} e \sigma=100\!\times\!10^{6}\,\mathrm{Pa}, então
\(\boldsymbol{u}=\dfrac{(100\!\times\!10^{6})^{2}}{2\cdot 200\!\times\!10^{9}}=\dfrac{10^{16}}{4\cdot 10^{11}}=2{,}5\times 10^{4}\,\mathrm{J/m^{3}}\).
  • Dica prática: em questões de prova, lembrar a relação \boldsymbol{u}=\tfrac{1}{2}\sigma\varepsilon costuma acelerar muito o raciocínio.

Passo 7

Força final de ânimo: você já tem a receita passo a passo — regra de Hooke, energia como integral de \sigma\,\mathrm{d}\varepsilon, integrar e substituir. Vai dar certo na prova. Respira fundo, revise estes passos e resolve uns exercícios práticos usando essa fórmula para ganhar confiança!

Resposta

b. \boldsymbol{u}=\dfrac{\sigma^{2}}{2 E}

Exercícios relacionados