Para um material linear elástico sob um estado de tensão uniaxial (
), a densidade de energia de deformação (
) pode ser expressa em função do Módulo de Elasticidade (
) como:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede a densidade de energia de deformação
para um material linear elástico submetido a um estado de tensão uniaxial
, expressa em função do Módulo de Elasticidade
. Informações relevantes fornecidas:
- Tensões são uniaxiais e o material é linear elástico.
- Variáveis envolvidas:
(tensão), (Módulo de Elasticidade) e busca-se (densidade de energia de deformação). - As alternativas apresentam expressões em termos de
e .
Passo 2
Conhecemos a relação linear entre tensão e deformação (Lei de Hooke) no regime elástico linear uniaxial. Definições e significado das variáveis:
-
é a deformação uniaxial (mudança relativa de comprimento). -
é a tensão aplicada (força por área). -
é o Módulo de Elasticidade (constante que relaciona tensão e deformação).
A Lei de Hooke escreve-se como
Isto significa que, para pequena deformação e material linear, a tensão é proporcional à deformação com constante de proporcionalidade
.
Passo 3
Agora precisamos lembrar o que é densidade de energia de deformação (energia elástica por unidade de volume). Fisicamente, quando deformamos o corpo, fazemos trabalho que fica armazenado como energia elástica. A contribuição infinitesimal de trabalho por unidade de volume ao aumentar a deformação de
para
é
. Assim a densidade de energia até
é a integral
Essa fórmula é muito importante: energia por volume = área sob a curva tensão × deformação, desde 0 até
.
Passo 4
Como o material é linear elástico, substituímos
dentro da integral. Calculamos a integral passo a passo:
Integrando
em relação a
:
Portanto
Passo 5
Queremos a expressão em função de
e
. Usamos
(inversa da Lei de Hooke) e substituímos em
. Fazendo as contas:
Assim obtemos a expressão final para a densidade de energia de deformação em termos de
e
.
Passo 6
Observações e formas equivalentes úteis para a prova:
- A forma compacta geral é
. Usando ou você obtém as outras formas ou . - Exemplo numérico rápido para fixar: se
e , então
- Dica prática: em questões de prova, lembrar a relação
costuma acelerar muito o raciocínio.
Passo 7
Força final de ânimo: você já tem a receita passo a passo — regra de Hooke, energia como integral de
, integrar e substituir. Vai dar certo na prova. Respira fundo, revise estes passos e resolve uns exercícios práticos usando essa fórmula para ganhar confiança!
Resposta
b.