Para um eixo circular de comprimento
e módulo de elasticidade transversal
, submetido a um torque constante
, a energia de deformação de torção é dada por (onde
é o momento polar de inércia):
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá um eixo circular de comprimento
, módulo de elasticidade transversal
, submetido a um torque constante
, e informa o momento polar de inércia
. Ele pede a energia de deformação por torção
do eixo e apresenta cinco opções de fórmula para escolha.
Informações dadas:
— comprimento do eixo;
— módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento);
— torque constante aplicado;
— momento polar de inércia da seção transversal.
O que se pede:
Determinar a expressão correta para a energia de deformação por torção e escolher a opção correta entre as apresentadas.
Determinar a expressão correta para a energia de deformação por torção
Passo 2
Relação entre torque e giro por unidade de comprimento. Quando um eixo circular homogêneo está submetido a um torque axial, existe uma relação linear entre o torque aplicado e a taxa de rotação ao longo do eixo. Essa relação é
onde:
é o torque (variando no processo de carregamento, mas constante no estado final),
é o módulo de cisalhamento,
é o momento polar de inércia da seção transversal,
é o ângulo de torção da seção em função da posição
ao longo do eixo,
é a rotação por unidade de comprimento (inclinação de torção).
Explicação didática: essa fórmula diz que, para um torque
, cada pequeno segmento do eixo gira com uma taxa
. A constante
quantifica a rigidez à torção da seção — quanto maior
, menor a rotação por comprimento para o mesmo torque.
Passo 3
Cálculo da energia de deformação. Para obter a energia elástica armazenada ao aplicar o torque, imaginamos aumentar o torque do valor
até o valor final
. Num processo elástico linear, a contribuição de energia de um incremento de torque
é o torque multiplicado pela rotação correspondente. A rotação por unidade de comprimento associada a um torque instantâneo
é
. Assim, a energia por unidade de comprimento acumulada ao subir o torque de
a
é
Aqui usamos que, no instante em que o torque vale
, o elemento de comprimento sofre uma rotação por unidade de comprimento
, e a energia diferencial é
vezes esse incremento de rotação.
Passo 4
Executando a integral do passo anterior:
mas atenção: devemos obter a energia por unidade de comprimento correta — a forma correta da energia infinitesimal que somamos enquanto aumentamos o torque é
por unidade de comprimento, e
. Substituindo temos
Comentário didático: a diferença entre integrar
e integrar
aparece se confundirmos variáveis; o procedimento correto é considerar o trabalho incremental
com
, o que leva à integral de
, não de
. Isso resulta no fator
.
Passo 5
Energia total do eixo. A energia por unidade de comprimento é
. Como o torque é constante ao longo de todo o comprimento
, a energia total armazenada no eixo é essa energia por comprimento multiplicada por
:
Passo 6
Comparação com as alternativas dadas: a expressão encontrada
corresponde exatamente à alternativa (c).
Resposta
c.