Para um eixo circular de comprimento L e módulo de elasticidade transversal G, submetido a um torque constante \boldsymbol{T}, a energia de deformação de torção é dada por (onde \boldsymbol{J} é o momento polar de inércia):
Escolha uma opção:
◯ a. \quad \boldsymbol{U}=\frac{T^{2}}{2 G J L}
◯ b. \boldsymbol{U}=\frac{T L}{2 G J}
◯ c. \quad U=\frac{T^{2} L}{2 G J}
◯ d. \quad \boldsymbol{U}=\frac{T^{2} L}{2 E I}
◯ e. \quad \boldsymbol{U}=\frac{T^{2} L^{2}}{2 G J}

Passo 1

O enunciado dá um eixo circular de comprimento \,L, módulo de elasticidade transversal \,G, submetido a um torque constante \boldsymbol{T}, e informa o momento polar de inércia \,J. Ele pede a energia de deformação por torção \,U do eixo e apresenta cinco opções de fórmula para escolha.
Informações dadas:
\,L — comprimento do eixo;
\,G — módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento);
\,T — torque constante aplicado;
\,J — momento polar de inércia da seção transversal.
O que se pede:
Determinar a expressão correta para a energia de deformação por torção \,U e escolher a opção correta entre as apresentadas.

Passo 2

Relação entre torque e giro por unidade de comprimento. Quando um eixo circular homogêneo está submetido a um torque axial, existe uma relação linear entre o torque aplicado e a taxa de rotação ao longo do eixo. Essa relação é
T = G\,J\,\frac{d\theta}{dx},
onde:
\,T é o torque (variando no processo de carregamento, mas constante no estado final),
\,G é o módulo de cisalhamento,
\,J é o momento polar de inércia da seção transversal,
\,\theta(x) é o ângulo de torção da seção em função da posição x ao longo do eixo,
\,\frac{d\theta}{dx} é a rotação por unidade de comprimento (inclinação de torção).
Explicação didática: essa fórmula diz que, para um torque T, cada pequeno segmento do eixo gira com uma taxa \frac{d\theta}{dx}=T/(GJ). A constante GJ quantifica a rigidez à torção da seção — quanto maior GJ, menor a rotação por comprimento para o mesmo torque.

Passo 3

Cálculo da energia de deformação. Para obter a energia elástica armazenada ao aplicar o torque, imaginamos aumentar o torque do valor 0 até o valor final \,T. Num processo elástico linear, a contribuição de energia de um incremento de torque t é o torque multiplicado pela rotação correspondente. A rotação por unidade de comprimento associada a um torque instantâneo t é \,t/(GJ). Assim, a energia por unidade de comprimento acumulada ao subir o torque de 0 a T é
\text{energia por unidade de comprimento} = \int_{0}^{T} \left(\frac{t}{GJ}\right) t\,dt.
Aqui usamos que, no instante em que o torque vale t, o elemento de comprimento sofre uma rotação por unidade de comprimento \,t/(GJ), e a energia diferencial é t vezes esse incremento de rotação.

Passo 4

Executando a integral do passo anterior:
\int_{0}^{T} \left(\frac{t}{GJ}\right) t\,dt = \frac{1}{GJ}\int_{0}^{T} t^{2}\,dt = \frac{1}{GJ}\cdot\frac{T^{3}}{3}\quad\text{(isto seria se integrássemos }t^{2}\text{ diretamente)},á
mas atenção: devemos obter a energia por unidade de comprimento correta — a forma correta da energia infinitesimal que somamos enquanto aumentamos o torque é \,t\cdot d\theta por unidade de comprimento, e d\theta=(dt)/(GJ). Substituindo temos
\text{energia por unidade de comprimento}=\int_{0}^{T} t\left(\frac{dt}{GJ}\right)=\frac{1}{GJ}\int_{0}^{T} t\,dt=\frac{1}{GJ}\cdot\frac{T^{2}}{2}=\frac{T^{2}}{2GJ}.
Comentário didático: a diferença entre integrar t^2 e integrar t aparece se confundirmos variáveis; o procedimento correto é considerar o trabalho incremental dU = t\,d\theta com d\theta = dt/(GJ), o que leva à integral de t, não de t^2. Isso resulta no fator 1/2.

Passo 5

Energia total do eixo. A energia por unidade de comprimento é \,\dfrac{T^{2}}{2GJ}. Como o torque é constante ao longo de todo o comprimento L, a energia total armazenada no eixo é essa energia por comprimento multiplicada por L:
U = \left(\frac{T^{2}}{2GJ}\right)\,L = \frac{T^{2}L}{2GJ}.

Passo 6

Comparação com as alternativas dadas: a expressão encontrada \displaystyle U=\frac{T^{2}L}{2GJ} corresponde exatamente à alternativa (c).

Resposta

c. \displaystyle U=\frac{T^{2}L}{2GJ}

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