Considere uma barra prismática de comprimento
, área da seção transversal
e módulo de elasticidade
, submetida a uma força axial constante
. A energia total de deformação (
) armazenada na barra é dada por:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá uma barra prismática com comprimento
, área da seção transversal
e módulo de elasticidade
, submetida a uma força axial constante
. A pergunta é: qual é a energia total de deformação (energia elástica armazenada)
na barra? Foram dadas cinco alternativas; precisamos encontrar a expressão correta para
.
Passo 2
Vamos lembrar conceitos físicos básicos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo, como se estivéssemos resolvendo na prova).
- Tensã o axial (intensa)
é a força por unidade de área: . Aqui tem unidades de pressão (por ex. Pa). - Deformação axial (alongamento relativo)
é a variação de comprimento dividida pelo comprimento original: , onde é o alongamento absoluto. - Lei de Hooke (para material linear elástico) relaciona tensão e deformação:
. Aqui é o módulo de elasticidade (rigidez do material).
Essas equações são fundamentais e válidas para pequenas deformações elásticas.
Passo 3
Usando
e
, podemos obter a deformação axial
em função de
:
Expliquei: primeiro calculamos a tensão produzida pela força; depois usamos Hooke para converter tensão em deformação.
Passo 4
Agora obtém-se o alongamento absoluto
(a variação do comprimento):
Interpretação: sob a força
a barra alonga
; a fórmula é direta da definição de deformação.
Passo 5
Uma forma simples de ver a energia elástica armazenada é pensar no trabalho realizado para aplicar a força. Se a força cresce linearmente de
até
(processo reversível elástico), o trabalho total (energia armazenada) é a área sob a curva força × deslocamento. Para carga linear, isso é metade do produto força final vezes deslocamento final, ou seja:
Explicação: quando o carregamento varia de
a
, em cada incremento infinitesimal de carga
realiza-se um trabalho
; integrando dá
. Como
é proporcional a
, a integral resulta em
. Isso é exatamente a física por trás do fator
.
Passo 6
Substituímos
encontrado no Passo 4 na expressão do Passo 5:
Mostrei cada substituição: primeiro o fator
, depois
, e finalmente simplifiquei.
Passo 7
Como alternativa (para aprendizado), podemos derivar a mesma expressão usando a densidade de energia elástica por unidade de volume. A energia por volume para material linear é
. Multiplicando por volume
:
confirmando o mesmo resultado. Isso mostra duas maneiras equivalentes de pensar no problema (trabalho externo ou energia interna), ambas chegando à mesma fórmula.
Resposta
e.