Considere uma barra prismática de comprimento \boldsymbol{L}, área da seção transversal \boldsymbol{A} e módulo de elasticidade \boldsymbol{E}, submetida a uma força axial constante \boldsymbol{P}. A energia total de deformação ( \boldsymbol{U} ) armazenada na barra é dada por:
Escolha uma opção:
◯ a. \quad \boldsymbol{U}=\frac{P L}{2 A E}
◯ b. \quad U=\frac{P^{2} L^{2}}{2 A E}
◯ c. U=\frac{P L^{2}}{2 A E}
◯ d. \quad \boldsymbol{U}=\frac{P^{2} L}{A E}
◯ e. \quad \boldsymbol{U}=\frac{\boldsymbol{P}^{2} \boldsymbol{L}}{2 \boldsymbol{A} E}

Passo 1

O enunciado dá uma barra prismática com comprimento \,L, área da seção transversal \,A e módulo de elasticidade \,E, submetida a uma força axial constante \,P. A pergunta é: qual é a energia total de deformação (energia elástica armazenada) \,U na barra? Foram dadas cinco alternativas; precisamos encontrar a expressão correta para \,U.

Passo 2

Vamos lembrar conceitos físicos básicos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo, como se estivéssemos resolvendo na prova).
  • Tensã o axial (intensa) \,\sigma é a força por unidade de área: \displaystyle \sigma=\frac{P}{A}. Aqui \sigma tem unidades de pressão (por ex. Pa).
  • Deformação axial (alongamento relativo) \,\varepsilon é a variação de comprimento dividida pelo comprimento original: \displaystyle \varepsilon=\frac{\delta}{L}, onde \delta é o alongamento absoluto.
  • Lei de Hooke (para material linear elástico) relaciona tensão e deformação: \displaystyle \sigma=E\,\varepsilon. Aqui \,E é o módulo de elasticidade (rigidez do material).
    Essas equações são fundamentais e válidas para pequenas deformações elásticas.

Passo 3

Usando \sigma=\dfrac{P}{A} e \sigma=E\varepsilon, podemos obter a deformação axial \varepsilon em função de P,A,E:
\varepsilon=\frac{\sigma}{E}=\frac{P/A}{E}=\frac{P}{A E}.
Expliquei: primeiro calculamos a tensão produzida pela força; depois usamos Hooke para converter tensão em deformação.

Passo 4

Agora obtém-se o alongamento absoluto \delta (a variação do comprimento):
\delta=\varepsilon L=\frac{P}{A E}\,L=\frac{P L}{A E}.
Interpretação: sob a força P a barra alonga \delta; a fórmula é direta da definição de deformação.

Passo 5

Uma forma simples de ver a energia elástica armazenada é pensar no trabalho realizado para aplicar a força. Se a força cresce linearmente de 0 até P (processo reversível elástico), o trabalho total (energia armazenada) é a área sob a curva força × deslocamento. Para carga linear, isso é metade do produto força final vezes deslocamento final, ou seja:
U=\tfrac{1}{2}P\,\delta.
Explicação: quando o carregamento varia de 0 a P, em cada incremento infinitesimal de carga df realiza-se um trabalho df\cdot \delta(f); integrando dá U=\int_0^P \delta(f)\,df. Como \delta(f) é proporcional a f, a integral resulta em \tfrac{1}{2}P\delta. Isso é exatamente a física por trás do fator 1/2.

Passo 6

Substituímos \delta encontrado no Passo 4 na expressão do Passo 5:
U=\tfrac{1}{2}P\cdot\left(\frac{P L}{A E}\right)=\frac{P^{2}L}{2A E}.
Mostrei cada substituição: primeiro o fator 1/2, depois \delta=\dfrac{P L}{A E}, e finalmente simplifiquei.

Passo 7

Como alternativa (para aprendizado), podemos derivar a mesma expressão usando a densidade de energia elástica por unidade de volume. A energia por volume para material linear é \displaystyle u=\int_0^{\varepsilon}\sigma(\tilde\varepsilon)\,d\tilde\varepsilon=\tfrac{1}{2}\sigma\varepsilon. Multiplicando por volume A L:
U=u\cdot A L=\tfrac{1}{2}\sigma\varepsilon\cdot A L=\tfrac{1}{2}\left(\frac{P}{A}\right)\left(\frac{P}{A E}\right)A L=\frac{P^{2}L}{2A E},
confirmando o mesmo resultado. Isso mostra duas maneiras equivalentes de pensar no problema (trabalho externo ou energia interna), ambas chegando à mesma fórmula.

Resposta

e. \displaystyle U=\frac{P^{2}L}{2A E}

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