Um material possui condutividade térmica \mathrm{k}=40 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, densidade \rho=1600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e calor específico \mathrm{Cp}=400 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}. Calcule a sua difusividade térmica ( \alpha ) e explique o significado físico deste valor.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a difusividade térmica \alpha do material.
  • Explicar o significado físico desse valor.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • condutividade térmica: k=40\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},
  • densidade: \rho=1600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3,
  • calor específico: C_p=400\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.

Passo 2

Fórmula e interpretação básica usada na conta.
A difusividade térmica \alpha é definida por
\alpha=\frac{k}{\rho C_p}.
Explicando cada termo:
  • k é a condutividade térmica: mede quão bem o material conduz calor (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • \rho é a densidade: massa por volume ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
  • C_p é o calor específico a pressão constante: energia necessária para elevar 1 kg do material em 1\\ \mathrm{K} ( \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
Interpretação física da fórmula, de forma simples e intuitiva:
  • O numerador k favorece a difusão (quanto maior k, mais rápido o calor se espalha).
  • O denominador \rho C_p representa a capacidade térmica volumétrica (quanto de energia é preciso para elevar a temperatura de um volume do material): materiais com grande \rho C_p armazenam mais calor e mudam de temperatura mais lentamente.
  • Portanto \alpha mede a rapidez com que a temperatura se iguala internamente: alta \alpha → respostas térmicas rápidas; baixa \alpha → respostas lentas.
Também importante: as unidades de \alpha são \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Esse fato pode ser visto pelo arranjo das unidades na definição (mostrarei no próximo passo).

Passo 3

Cálculo numérico detalhado e verificação de unidades.
Calculo do denominador:
\rho C_p = 1600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \times 400\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}) =1600\cdot400\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K}}.
Fazendo a multiplicação:
1600\cdot400 = 640000,
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\rho C_p = 640000\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K}}.
Agora a razão:
\alpha=\frac{k}{\rho C_p}=\frac{40\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})}{640000\\ \mathrm{J}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K})}.
Verificação das unidades (passo a passo):
\frac{\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})}{\mathrm{J}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K})} = \left(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{J}}\right)\times \left(\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{m}}\right) = \frac{\mathrm{J}/\mathrm{s}}{\mathrm{J}}\times \mathrm{m}^2 = \frac{1}{\mathrm{s}}\times \mathrm{m}^2 = \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Portanto as unidades ficam corretamente em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Avaliação numérica final:
\alpha=\frac{40}{640000}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}=0,0000625\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Em notação científica:
\alpha=6,25\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 5

Significado físico desse valor (explicação didática e exemplos para sentir a escala).
  • Em palavras simples: \alpha indica quão rapidamente uma variação de temperatura se propaga dentro do material. Se \alpha for grande, uma perturbação térmica (por exemplo, tocar uma face quente) se espalha rápido pelo material; se \alpha for pequeno, o material “segura” o calor e muda de temperatura devagar.
  • Tempo característico de difusão térmica em uma distância característica L pode ser estimado por
t\sim\frac{L^2}{\alpha}.
Exemplos numéricos com \alpha=6,25\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}:
  • Para L=0,01\\ \mathrm{m} (1 cm):
t\sim\frac{(0,01)^2}{6,25\times10^{-5}}=\frac{1\times10^{-4}}{6,25\times10^{-5}}\approx1,6\\ \mathrm{s}.
Ou seja: uma camada de 1 cm tende a equilibrar termicamente em alguns segundos — resposta rápida.
  • Para L=1\\ \mathrm{m}:
t\sim\frac{1^2}{6,25\times10^{-5}}\approx16000\\ \mathrm{s}\approx4{,}4\\ \mathrm{h}.
Para distâncias grandes (metros) o tempo já é de horas.
  • Para L=0,001\\ \mathrm{m} (1 mm):
t\sim\frac{(0,001)^2}{6,25\times10^{-5}}=\frac{1\times10^{-6}}{6,25\times10^{-5}}\approx0,016\\ \mathrm{s}.
Muito rápido em escalas milimétricas.
  • Interpretação qualitativa: o valor \alpha=6,25\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} é relativamente grande quando comparado a materiais isolantes (que têm \alpha tipicamente da ordem de 10^{-7} a 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}) e está na mesma ordem de grandeza de alguns metais leves (metais puros costumam ter \alpha entre 10^{-5} e 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}). Isso indica que o material conduz calor de maneira eficiente em relação à sua capacidade de armazená-lo.

Passo 6

Dicas de prova e observações rápidas (práticas):
  • Memorize a fórmula \alpha=k/(\rho C_p) e a interpretação “condução sobre armazenamento”.
  • Use t\sim L^2/\alpha para estimar ordens de grandeza de tempos de resposta térmica sem calculadora.
  • Sempre cheque unidades como fizemos: resultado deve ficar em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Resposta

\alpha=6,25\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}
Valor interpreta-se como a difusividade térmica: mede a rapidez com que variações de temperatura se propagam no material (maior \alpha → propagação mais rápida; tempo característico t\sim L^2/\alpha).

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