O perfil de temperatura em uma parede de concreto ( \mathrm{k}=1,2 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 0,5 \mathrm{~m} de espessura é dado por \mathrm{T}(\mathrm{x})=80-60 \mathrm{x}, onde T é em { }^{\circ} \mathrm{C} e x em metros. Calcule o fluxo de calor \left(q^{\prime \prime}\right) que atravessa a parede.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Condutividade térmica: k=1,2\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Espessura da parede: L=0,5\\ \mathrm{m}.
  • Perfil de temperatura ao longo da espessura: T(x)=80-60x, com T em ^\circ\mathrm{C} e x em \mathrm{m}, onde x=0 é uma face e x=0,5 é a outra face.
    O que se pede: calcular o fluxo de calor por unidade de área que atravessa a parede, q^{\prime\prime}.

Passo 2

Para condução unidimensional e regime estacionário usamos a lei de Fourier em uma dimensão:
q^{\prime\prime}(x) = -\,k\,\frac{dT}{dx}.
Explicando a fórmula:
  • q^{\prime\prime}(x) é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: \mathrm{W}/\mathrm{m}^2); o sinal indica a direção do fluxo segundo a convenção escolhida (positivo no sentido +x neste caso).
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura ( \mathrm{K}/\mathrm{m} ou ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}; diferenças em K e ^\circ\mathrm{C} são numericamente equivalentes).

Passo 3

Calcular o gradiente de temperatura a partir do perfil dado. Como T(x)=80-60x, a derivada em relação a x é a inclinação da reta:
\frac{dT}{dx} = -60\\ \frac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{m}}.
Observação: a unidade ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} é numericamente igual a \mathrm{K}/\mathrm{m} para gradientes.

Passo 4

Aplicar a lei de Fourier substituindo k e \dfrac{dT}{dx}:
q^{\prime\prime} = -\,k\,\frac{dT}{dx} = -\left(1,2\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}\right)\times\left(-60\\ \frac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{m}}\right).
Como os sinais negativos se anulam,
q^{\prime\prime} = 1,2\times60 = 72\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2}.

Passo 5

Interpretação física rápida e checagem:
  • Calculando temperaturas nas faces: T(0)=80^\circ\mathrm{C} e T(0,5)=80-60\cdot0,5=50^\circ\mathrm{C}. Portanto o fluxo vai da face quente ( x=0) para a fria ( x=0,5), ou seja, no sentido +x.
  • O fluxo é uniforme ao longo da parede porque o gradiente é constante (perfil linear).

Resposta

\;q^{\prime\prime}=72\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2 (no sentido +\!x, do lado quente para o lado frio)

Exercícios relacionados