Um material radioativo, como o isótopo tório-234, desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se Q(t) é a quantidade presente no instante t, então d Q / d t=-r Q, em que r >0 é a taxa de decaimento.
(a) Se 100 mg de tório-234 decaem a 82,04 mg em 1 semana, determine a taxa de decaimento r.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre decaimento radioativo, especificamente do isótopo tório-234. A gente precisa encontrar a taxa de decaimento . Para isso, vamos usar a equação que descreve como a quantidade de material radioativo diminui ao longo do tempo: . Vamos precisar entender essa fórmula e como aplicá-la para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação que descreve um decaimento exponencial. A solução geral dessa equação é , onde:
  • é a quantidade de material no tempo ,
  • é a quantidade inicial,
  • é a taxa de decaimento,
  • é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

No problema, sabemos que inicialmente temos 82,04 = 100 , e^-r cdot 1 mg de tório-234. Depois de 1 semana, a quantidade restante é mg. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar :

Passo 4

Agora, precisamos isolar 82,04100 = e^-r . Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
0,8204 = e^-r

Passo 5

Para eliminar o ln(0,8204) = -r , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
r = -ln(0,8204)

Passo 6

Calculando o valor numérico:
r = -ln(0,8204) approx -(-0,198)
r approx 0,198 , semana^-1

Resposta

A taxa de decaimento é aproximadamente .

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