Questão (
pontos): Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton (
) emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio
faz uma transição de uma órbita com número quântico
para uma órbita de número quântico
é dado por:
Onde:
é a energia do fóton emitido na transição do elétron da órbita n para a órbita n-1;
é a diferença entre os raios das orbitas
e
;
é a diferença entre os raios das orbitas
e n-1.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na teoria de Bohr, a energia do fóton emitido quando o elétron passa de uma órbita de número quântico
para a órbita
(energia chamada de
) pode ser escrita em termos da energia
emitida na transição
e das diferenças de raios
e
, conforme a fórmula:
Informações dadas / símbolos usados no enunciado:
-
: energia do fóton para a transição . -
: energia do fóton para a transição . -
: diferença de raios entre as órbitas e , isto é . -
: diferença de raios entre as órbitas e , isto é . -
é inteiro natural maior que .
A partir daqui vamos usar as fórmulas do modelo de Bohr para obter expressões explícitas para
e então manipular algebricamente para chegar à igualdade requerida.
Passo 2
Lembrete rápido (fórmulas de Bohr que vamos usar) — explicando cada coisa:
- Níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados por
onde
é a energia do elétron na órbita de número quântico
e
é a constante de Rydberg em energia (para hidrogênio
, valor positivo). Essa fórmula vem do equilíbrio entre energia cinética e potencial no modelo de Bohr; o sinal negativo indica que o elétron está ligado ao núcleo.
- Raios das órbitas no modelo de Bohr:
onde
é o raio de Bohr (constante), e
é o raio da órbita com número quântico
.
Essas duas fórmulas são padrão na teoria de Bohr; agora vamos usá-las para escrever
,
e as diferenças de raios explicitamente.
Passo 3
Expressões para as energias dos fótons emitidos em cada transição (calma: mostrarei cada passo).
- Para a transição
a energia do fóton emitido é a diferença entre a energia do estado inicial e do estado final . Usando :
- Para a transição
:
Expliquei: como
são negativos, subtrair dá um número positivo (energia emitida). Agora vamos simplificar estas diferenças de frações para obter formas fáceis de manipular.
Passo 4
Simplificando cada diferença de frações (faço passo a passo para você reproduzir na prova sem erro).
- Numerador de
:
Portanto
- Numerador de
:
Portanto
Note que ambos têm um fator comum
e um fator
no denominador; isso vai facilitar a razão
.
Passo 5
Agora as diferenças de raios
e
usando
.
Daí obtemos diretamente a razão
Passo 6
Agora calculo a razão
e mostro que ela é igual a
.
Usando as expressões obtidas em Passo 4:
Usando as expressões obtidas em Passo 4:
Cancelei
e
. Continuação do simplificando:
Mas já vimos que
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos exatamente a fórmula pedida:
Se quiser checar com um exemplo rápido: para
tem-se
e
, logo o fator total é
; fazendo direto com as energias pela fórmula de Bohr dá o mesmo resultado — ou seja, a identitade está verificada numericamente também.