\mathbf{1}^{\boldsymbol{\circ}} Questão ( \mathbf{2 , 0} pontos): Mostre que, na teoria de Bohr, a energia do fóton ( E_{1} ) emitido quando o elétron de um átomo de hidrogênio (z=1) faz uma transição de uma órbita com número quântico n+1 para uma órbita de número quântico n é dado por:
E_{1}=E_{2} \frac{\Delta R_{1}}{\Delta R_{2}}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}, n \in \mathbb{N} \text { e } n>1
Onde: E_{2} é a energia do fóton emitido na transição do elétron da órbita n para a órbita n-1; \Delta R_{1} é a diferença entre os raios das orbitas n+1 e n; \Delta R_{2} é a diferença entre os raios das orbitas n e n-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na teoria de Bohr, a energia do fóton emitido quando o elétron passa de uma órbita de número quântico n+1 para a órbita n (energia chamada de E_{1}) pode ser escrita em termos da energia E_{2} emitida na transição n\to n-1 e das diferenças de raios \Delta R_{1} e \Delta R_{2}, conforme a fórmula:
E_{1}=E_{2}\,\frac{\Delta R_{1}}{\Delta R_{2}}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2},\qquad n\in\mathbb{N},\; n>1.
Informações dadas / símbolos usados no enunciado:
  • E_{1}: energia do fóton para a transição n+1\to n.
  • E_{2}: energia do fóton para a transição n\to n-1.
  • \Delta R_{1}: diferença de raios entre as órbitas n+1 e n, isto é \Delta R_{1}=r_{n+1}-r_{n}.
  • \Delta R_{2}: diferença de raios entre as órbitas n e n-1, isto é \Delta R_{2}=r_{n}-r_{n-1}.
  • n é inteiro natural maior que 1.
A partir daqui vamos usar as fórmulas do modelo de Bohr para obter expressões explícitas para E_{1},E_{2},\Delta R_{1},\Delta R_{2} e então manipular algebricamente para chegar à igualdade requerida.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmulas de Bohr que vamos usar) — explicando cada coisa:
  • Níveis de energia do átomo de hidrogênio são dados por
E_{n}=-\frac{E_{R}}{n^{2}},
onde E_{n} é a energia do elétron na órbita de número quântico n e E_{R} é a constante de Rydberg em energia (para hidrogênio E_{R}=13{,}6\\ \text{eV}, valor positivo). Essa fórmula vem do equilíbrio entre energia cinética e potencial no modelo de Bohr; o sinal negativo indica que o elétron está ligado ao núcleo.
  • Raios das órbitas no modelo de Bohr:
r_{n}=n^{2}a_{0},
onde a_{0} é o raio de Bohr (constante), e r_{n} é o raio da órbita com número quântico n.
Essas duas fórmulas são padrão na teoria de Bohr; agora vamos usá-las para escrever E_{1}, E_{2} e as diferenças de raios explicitamente.

Passo 3

Expressões para as energias dos fótons emitidos em cada transição (calma: mostrarei cada passo).
  • Para a transição (n+1)\to n a energia do fóton emitido é a diferença entre a energia do estado inicial (n+1) e do estado final n. Usando E_{n}=-E_{R}/n^{2}:
E_{1}=E_{n+1}-E_{n} =\left(-\frac{E_{R}}{(n+1)^{2}}\right)-\left(-\frac{E_{R}}{n^{2}}\right) =E_{R}\!\left(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right).
  • Para a transição n\to n-1:
E_{2}=E_{n}-E_{n-1} =\left(-\frac{E_{R}}{n^{2}}\right)-\left(-\frac{E_{R}}{(n-1)^{2}}\right) =E_{R}\!\left(\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right).
Expliquei: como E_{n} são negativos, subtrair dá um número positivo (energia emitida). Agora vamos simplificar estas diferenças de frações para obter formas fáceis de manipular.

Passo 4

Simplificando cada diferença de frações (faço passo a passo para você reproduzir na prova sem erro).
  • Numerador de E_{1}:
\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}} =\frac{(n+1)^{2}-n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}} =\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
Portanto
E_{1}=E_{R}\,\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}.
  • Numerador de E_{2}:
\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}} =\frac{n^{2}-(n-1)^{2}}{(n-1)^{2}n^{2}} =\frac{2n-1}{(n-1)^{2}n^{2}}.
Portanto
E_{2}=E_{R}\,\frac{2n-1}{(n-1)^{2}n^{2}}.
Note que ambos têm um fator comum E_{R} e um fator n^{2} no denominador; isso vai facilitar a razão E_{1}/E_{2}.

Passo 5

Agora as diferenças de raios \Delta R_{1} e \Delta R_{2} usando r_{n}=n^{2}a_{0}.
  • \Delta R_{1}=r_{n+1}-r_{n}=a_{0}\big((n+1)^{2}-n^{2}\big)=a_{0}(2n+1).
  • \Delta R_{2}=r_{n}-r_{n-1}=a_{0}\big(n^{2}-(n-1)^{2}\big)=a_{0}(2n-1).
Daí obtemos diretamente a razão
\frac{\Delta R_{1}}{\Delta R_{2}}=\frac{2n+1}{2n-1}.

Passo 6

Agora calculo a razão E_{1}/E_{2} e mostro que ela é igual a \dfrac{\Delta R_{1}}{\Delta R_{2}}\left(\dfrac{n-1}{n+1}\right)^{2}.
Usando as expressões obtidas em Passo 4:
\frac{E_{1}}{E_{2}} =\frac{E_{R}\,\dfrac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}} {E_{R}\,\dfrac{2n-1}{(n-1)^{2}n^{2}}} =\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}\cdot\frac{(n-1)^{2}n^{2}}{2n-1}.
Cancelei E_{R} e n^{2}. Continuação do simplificando:
\frac{E_{1}}{E_{2}} =\frac{2n+1}{2n-1}\cdot\frac{(n-1)^{2}}{(n+1)^{2}}.
Mas já vimos que \dfrac{\Delta R_{1}}{\Delta R_{2}}=\dfrac{2n+1}{2n-1}. Substituindo:
\frac{E_{1}}{E_{2}}=\frac{\Delta R_{1}}{\Delta R_{2}}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}.
Multiplicando ambos os lados por E_{2} obtemos exatamente a fórmula pedida:
E_{1}=E_{2}\,\frac{\Delta R_{1}}{\Delta R_{2}}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}.
Se quiser checar com um exemplo rápido: para n=2 tem-se \Delta R_{1}/\Delta R_{2}=(5)/(3) e ((n-1)/(n+1))^{2}=(1/3)^{2}=1/9, logo o fator total é 5/(27); fazendo direto com as energias pela fórmula de Bohr dá o mesmo resultado — ou seja, a identitade está verificada numericamente também.

Resposta

E_{1}=E_{2}\,\frac{\Delta R_{1}}{\Delta R_{2}}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2}

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