\mathbf{2}^{\boldsymbol{\circ}} Questão ( \mathbf{2 , 0} pontos): Sabendo que o comprimento de onda do fóton emitido na transição do elétron de um estado estacionário n=3 para o estado estacionário n=2 é igual 656 nm , a partir da equação dada na questão anterior, estime o valor do comprimento de onda do fóton emitido na transição do elétron do estado estacionário \mathbf{n}=2 para \mathbf{n}=1.
=122 \mathrm{~nm}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo bem claro):\n
  • Dado: o comprimento de onda do fóton emitido na transição do estado estacionário n=3 para n=2 é \lambda_{3\to2}=656\\ \mathrm{nm}.\n
  • Pedido: estimar o comprimento de onda do fóton emitido na transição do estado estacionário n=2 para n=1, ou seja \lambda_{2\to1} = ?.

Passo 2

Vamos usar a fórmula que relaciona comprimento de onda de fótons emitidos por transições entre níveis do átomo de hidrogênio (fórmula dada na questão anterior). A forma mais usada é a fórmula de Rydberg:
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros ou outra unidade),
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogênio (não precisamos do seu valor numérico se formos comparar duas transições),
  • n_i é o número quântico inicial (nível mais alto),
  • n_f é o número quântico final (nível mais baixo).\n
    Explicando em miúdos: a frequência (e portanto o inverso do comprimento de onda) é proporcional à diferença entre 1/n^2 dos dois níveis. Isso significa que, para duas transições diferentes, a constante R cancela se fizeremos uma razão entre as duas expressões.

Passo 3

Escrevo a expressão para a transição 3\to2:
\frac{1}{\lambda_{3\to2}}=R\!\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right).
Calculo a diferença dentro do parêntese passo a passo:
\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{9-4}{36}=\frac{5}{36}.
Portanto
\frac{1}{\lambda_{3\to2}}=R\cdot\frac{5}{36}.

Passo 4

Agora a expressão para a transição 2\to1:
\frac{1}{\lambda_{2\to1}}=R\!\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right).
Calculo a diferença:
\frac{1}{1}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Logo
\frac{1}{\lambda_{2\to1}}=R\cdot\frac{3}{4}.

Passo 5

Faço a razão entre as duas expressões para eliminar R (isso evita precisar do valor numérico de R):
\frac{1/\lambda_{3\to2}}{1/\lambda_{2\to1}}=\frac{R\cdot\frac{5}{36}}{R\cdot\frac{3}{4}}=\frac{\tfrac{5}{36}}{\tfrac{3}{4}}.
Simplificando a razão:
\frac{\tfrac{5}{36}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{5}{36}\cdot\frac{4}{3}=\frac{20}{108}=\frac{5}{27}.
Isso significa que
\frac{1}{\lambda_{3\to2}}=\frac{5}{27}\cdot\frac{1}{\lambda_{2\to1}},
ou, invertendo as duas frações para obter os comprimentos de onda,
\lambda_{2\to1}=\frac{5}{27}\,\lambda_{3\to2}.

Passo 6

Substituo o valor dado \lambda_{3\to2}=656\\ \mathrm{nm}:
\lambda_{2\to1}=\frac{5}{27}\times 656\\ \mathrm{nm}.
Faço as contas passo a passo: 656\times5=3280. Agora divido por 27:
\frac{3280}{27}=121+\frac{13}{27}\approx121{,}481\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com o mesmo nível de precisão razoável (o dado 656\\ \mathrm{nm} tem três algarismos significativos), obtemos aproximadamente 122\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o resultado \approx122\\ \mathrm{nm} é consistente com o que se conhece como a linha Lyman- \alpha do hidrogênio (transição 2\to1), então o valor faz sentido físico. Força aí — esse tipo de manipulação por razões entre transições é muito útil porque evita precisar do valor de R e simplifica bastante as contas na prova.

Resposta

122\\ \mathrm{nm}

Exercícios relacionados