(
p)- Determine se as séries convergem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes dadas:
varia de
até
.
O termo geral é
O termo geral é
Queremos saber o comportamento de
(convergência absoluta/condicional não é pedida separadamente; apenas se a série converge ou diverge).
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teste da Comparação por Limite (Limite de comparação) com a série harmônica
. Motivação informal: para grandes
o numerador tem ordem
e o denominador tem ordem
, então o termo geral deve se comportar como
. A série harmônica
é conhecida por divergir, então se a razão entre
e
tende a uma constante positiva, as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas divergem).
Passo 3
Enunciado do Teste da Comparação por Limite (versão usada): sejam
e
. Se
com
, então
e
convergem ou divergem juntas. Primeiro verifiquemos positividade: para
temos
, e o denominador é positivo, logo
e podemos aplicar o teste com
.
Passo 4
Cálculo do limite de comparação. Defina
Queremos
Vamos manipular
para ver o comportamento assintótico. Fatore
dentro da raiz cúbica:
Portanto
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Agora avalie o limite. Quando
temos
,
e
. A função
é contínua, logo
Assim
Portanto o limite de comparação
existe e é
, com
.
Passo 6
Conclusão pelo Teste da Comparação por Limite: como
e a série comparadora
(série harmônica) diverge, segue que a série original também diverge.
Resposta
A série diverge.