( \mathbf{3 , 5} p)- Determine se as séries convergem:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2}-3}{\sqrt[3]{n^{9}+n^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2}-3}{\sqrt[3]{n^{9}+n^{2}+1}}
converge ou diverge. Informações relevantes dadas:
\;n varia de 2 até \infty.
O termo geral é
a_n=\frac{n^{2}-3}{\sqrt[3]{n^{9}+n^{2}+1}}.
Queremos saber o comportamento de \sum a_n (convergência absoluta/condicional não é pedida separadamente; apenas se a série converge ou diverge).

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teste da Comparação por Limite (Limite de comparação) com a série harmônica \sum \frac{1}{n}. Motivação informal: para grandes n o numerador tem ordem n^{2} e o denominador tem ordem (n^{9})^{1/3}=n^{3}, então o termo geral deve se comportar como 1/n. A série harmônica \sum \frac{1}{n} é conhecida por divergir, então se a razão entre a_n e 1/n tende a uma constante positiva, as duas séries têm o mesmo comportamento (ambas divergem).

Passo 3

Enunciado do Teste da Comparação por Limite (versão usada): sejam a_n\ge 0 e b_n>0. Se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas. Primeiro verifiquemos positividade: para n\ge 2 temos n^{2}-3\ge 1>0, e o denominador é positivo, logo a_n>0 e podemos aplicar o teste com b_n=\dfrac{1}{n}.

Passo 4

Cálculo do limite de comparação. Defina
a_n=\frac{n^{2}-3}{\sqrt[3]{n^{9}+n^{2}+1}},\qquad b_n=\frac{1}{n}.
Queremos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty} n\,a_n.
Vamos manipular a_n para ver o comportamento assintótico. Fatore n^{9} dentro da raiz cúbica:
\sqrt[3]{n^{9}+n^{2}+1}=\sqrt[3]{n^{9}\left(1+n^{-7}+n^{-9}\right)}=n^{3}\left(1+n^{-7}+n^{-9}\right)^{1/3}.
Portanto
a_n=\frac{n^{2}-3}{n^{3}\left(1+n^{-7}+n^{-9}\right)^{1/3}} =\frac{1}{n}\cdot\frac{1-\dfrac{3}{n^{2}}}{\left(1+n^{-7}+n^{-9}\right)^{1/3}}.
Multiplicando por n obtemos
n\,a_n=\frac{1-\dfrac{3}{n^{2}}}{\left(1+n^{-7}+n^{-9}\right)^{1/3}}.

Passo 5

Agora avalie o limite. Quando n\to\infty temos n^{-7}\to 0, n^{-9}\to 0 e 3/n^{2}\to 0. A função x\mapsto x^{1/3} é contínua, logo
\lim_{n\to\infty}\left(1+n^{-7}+n^{-9}\right)^{1/3}=1.
Assim
\lim_{n\to\infty} n\,a_n=\frac{1-0}{1}=1.
Portanto o limite de comparação L existe e é L=1, com 0<L<\infty.

Passo 6

Conclusão pelo Teste da Comparação por Limite: como L=1 e a série comparadora \sum \dfrac{1}{n} (série harmônica) diverge, segue que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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