( \mathbf{3 , 5} p)- Determine se as séries convergem:
\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{k}\right)
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado: os termos da série são a_k=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{k}\right) para k=1,2,3,\dots. Não há outras informações (por exemplo, não nos deram uma figura ou condição extra).

Passo 2

Observação sobre os termos: para k grande temos \frac{1}{k}>0 pequeno, e \operatorname{sen}(x)>0 para x>0 pequeno. Portanto, a partir de algum K todos os termos a_k são positivos. Isso permite usar testes de comparação (que funcionam bem para séries com termos não-negativos). Não vou pressupor que você conheça o teste ainda — explico no passo seguinte.

Passo 3

Apresentando o teste que vamos usar (limite de comparação), em palavras simples:
Se a_k>0 e b_k>0 para k suficientemente grande e
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=L
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_k e \sum b_k convergem ou divergem juntas. Ou seja, se uma diverge, a outra também diverge. Aqui vamos comparar a_k=\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{k}\right) com b_k=\frac{1}{k} (a famosa série harmônica).

Passo 4

Calculemos o limite de comparação:
\lim_{k\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{k}\right)}{\frac{1}{k}}
para isso fazemos a mudança de variável natural x=\frac{1}{k}. Quando k\to\infty temos x\to 0^+. Assim o limite passa a ser
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.

Passo 5

Agora precisamos do valor de
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Existe um resultado clássico (que vale a pena saber para a prova): esse limite vale 1. Vou justificar de forma elementar usando desigualdades geométricas e o teorema do aperto (squeeze).
Para 0<x<\frac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\cos x < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1.
Uma forma de obter isso é comparar áreas em um círculo unitário (não preciso desenhar aqui, mas é o clássico argumento): dividir todas as partes por \operatorname{sen}(x) e manipular dá essa cadeia. Agora, tomando limite quando x\to 0^+, sabemos que
\lim_{x\to 0^+}\cos x = 1.
Pelo teorema do aperto (squeeze theorem), segue que
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1.

Passo 6

Voltando ao limite de comparação, concluímos que
\lim_{k\to\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{k}\right)}{\frac{1}{k}} = 1.
Esse limite L=1 é finito e estritamente positivo, então pelo teste do limite de comparação as duas séries têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem juntas).

Passo 7

Sabemos que a série harmônica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
diverge. Um argumento simples para isso (muito usado em provas) é agrupar termos: 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\right)+\cdots. Cada par ou bloco tem soma maior ou igual a \frac{1}{2}, assim os somatórios parciais crescem sem limite e a série diverge.

Passo 8

Como a série harmônica diverge e pelo passo 6 a série com termos \operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{k}\right) tem comportamento assintótico equivalente (limite de razão igual a 1), concluímos que
\sum_{k=1}^{\infty}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{k}\right)
também diverge.

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{k}\right) diverge.

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