(
p)- Determine se as séries convergem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes dadas pelo enunciado: os termos da série são
para
. Não há outras informações (por exemplo, não nos deram uma figura ou condição extra).
Passo 2
Observação sobre os termos: para
grande temos
pequeno, e
para
pequeno. Portanto, a partir de algum
todos os termos
são positivos. Isso permite usar testes de comparação (que funcionam bem para séries com termos não-negativos). Não vou pressupor que você conheça o teste ainda — explico no passo seguinte.
Passo 3
Apresentando o teste que vamos usar (limite de comparação), em palavras simples:
Se e
para
suficientemente grande e
Se
com
, então as séries
e
convergem ou divergem juntas. Ou seja, se uma diverge, a outra também diverge. Aqui vamos comparar
com
(a famosa série harmônica).
Passo 4
Calculemos o limite de comparação:
para isso fazemos a mudança de variável natural
. Quando
temos
. Assim o limite passa a ser
Passo 5
Agora precisamos do valor de
Existe um resultado clássico (que vale a pena saber para a prova): esse limite vale
. Vou justificar de forma elementar usando desigualdades geométricas e o teorema do aperto (squeeze).
Para
vale a desigualdade geométrica
Uma forma de obter isso é comparar áreas em um círculo unitário (não preciso desenhar aqui, mas é o clássico argumento): dividir todas as partes por
e manipular dá essa cadeia. Agora, tomando limite quando
, sabemos que
Pelo teorema do aperto (squeeze theorem), segue que
Passo 6
Voltando ao limite de comparação, concluímos que
Esse limite
é finito e estritamente positivo, então pelo teste do limite de comparação as duas séries têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem juntas).
Passo 7
Sabemos que a série harmônica
diverge. Um argumento simples para isso (muito usado em provas) é agrupar termos:
. Cada par ou bloco tem soma maior ou igual a
, assim os somatórios parciais crescem sem limite e a série diverge.
Passo 8
Como a série harmônica diverge e pelo passo 6 a série com termos
tem comportamento assintótico equivalente (limite de razão igual a
), concluímos que
também diverge.
Resposta
A série
diverge.