1. Se \mathbf{F}=\mathbf{r} / r^{p}, determine \operatorname{div} \mathbf{F}. Existe um valor de p para que \operatorname{div} \mathbf{F}=0 ?

Passo 1

O campo dado é \mathbf{F}(\mathbf{r}) = \dfrac{\mathbf{r}}{r^{p}},
onde \mathbf{r}=(x,y,z) e r = \|\mathbf{r}\| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Queremos \operatorname{div}\mathbf{F} = \partial_{x}F_{x} + \partial_{y}F_{y} + \partial_{z}F_{z} em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\}.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial em x:
F_{x} = x\,r^{-p},
então, usando produto e cadeia,
\partial_{x}(x\,r^{-p}) = r^{-p} + x\,\bigl(-p\,r^{-p-1}\bigr)\,\partial_{x}r = r^{-p} - p\,x^{2}r^{-p-2},
pois \partial_{x}r = x/r.

Passo 3

Por simetria, \partial_{y}F_{y} = r^{-p} - p\,y^{2}r^{-p-2}
e \partial_{z}F_{z} = r^{-p} - p\,z^{2}r^{-p-2}.
Somando as três derivadas:
\operatorname{div}\mathbf{F} = 3\,r^{-p} - p\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,r^{-p-2} = 3\,r^{-p} - p\,r^{2}\,r^{-p-2} = (3 - p)\,r^{-p}.

Passo 4

Para \operatorname{div}\mathbf{F}=0 em \mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} precisamos de
3 - p = 0 \quad\Longrightarrow\quad p = 3.

Resposta

\displaystyle \operatorname{div}\mathbf{F} = \frac{3-p}{r^{p}}.
Existe valor de p que zera a divergência: \operatorname{div}\mathbf{F}=0 se, e só se, p = 3.

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