[\mathbf{2 , 5}] Um investidor tem um capital aplicado de \ 5.000 por 24 meses, resultando ao final da operação, em \çã9.500. Calcule a taxa mensal de juros compostos ganha.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Capital inicial (valor presente): P=\$5\,000.
  • Valor final após o período (montante): S=\$9\,500.
  • Tempo da aplicação: n=24 meses.
    O que pede: calcular a taxa de juros compostos mensal i que faz o capital crescer de P para S em n meses.

Passo 2

Apresentando a fórmula de juros compostos e explicando cada símbolo.
A fórmula padrão de montante em juros compostos é
S = P(1+i)^{n},
onde:
  • S é o montante final (o valor que se obtém ao final),
  • P é o capital inicial (valor aplicado),
  • i é a taxa de juros por período (no nosso caso, por mês),
  • n é o número de períodos (número de meses).
    Essa fórmula vem da ideia de que, a cada período, o capital é multiplicado por (1+i); repetindo isso n vezes temos multiplicação por (1+i)^n.

Passo 3

Substituindo os valores dados na fórmula e isolando a potência.
Substituindo P=\$5\,000, S=\$9\,500 e n=24 obtemos:
9\,500 = 5\,000\,(1+i)^{24}.
Dividindo ambos os lados por 5\,000,
(1+i)^{24} = \frac{9\,500}{5\,000} = 1,9.

Passo 4

Isolando i — operação de raiz ou uso de logaritmos.
Para encontrar i fazemos a raiz 24‑ésima ou usamos logaritmos. Escrevendo a solução exata:
1+i = 1,9^{1/24},
portanto
i = 1,9^{1/24} - 1.
Se quisermos um valor numérico prático, aplicamos logaritmo natural às duas partes de (1+i)^{24}=1,9:
24\ln(1+i) = \ln(1,9)\quad\Rightarrow\quad \ln(1+i) = \frac{\ln(1,9)}{24}.
Então
1+i = \exp\!\left(\frac{\ln(1,9)}{24}\right).

Passo 5

Cálculo numérico detalhado (mostrando como aproximar sem pular etapas).
Calcular \ln(1,9). Usando tabela ou calculadora vê‑se que
\ln(1,9)\approx 0,641854.
Dividindo por 24:
\frac{\ln(1,9)}{24}\approx \frac{0,641854}{24}\approx 0,0267439.
Agora precisamos de \exp(0,0267439). Para entender e aproximar sem pular etapas, podemos usar a expansão em série de e^{x} (válida para x pequeno):
e^{x}\approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6}.
Com x=0,0267439 temos:
x \approx 0,0267439,
\frac{x^{2}}{2}\approx \frac{(0,0267439)^{2}}{2}\approx 0,0003576,
\frac{x^{3}}{6}\approx \frac{(0,0267439)^{3}}{6}\approx 0,0000032.
Somando:
e^{x}\approx 1 + 0,0267439 + 0,0003576 + 0,0000032 \approx 1,0271047.
Assim
1+i \approx 1,0271047
e portanto
i \approx 0,0271047.

Passo 6

Interpretando o resultado e convertendo para porcentagem.
A taxa mensal i em forma decimal é aproximadamente 0,0271047. Para passar a porcentagem multiplicamos por 100:
i \approx 0,0271047 = 2,71047\%.
Arredondando para duas casas decimais na porcentagem (forma usual), a taxa é aproximadamente 2,71\% ao mês.

Resposta

i \approx 0,0271047 ( \approx 2,71047\% ao mês)

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