Um investidor tem um capital aplicado de
5.000
9.500. Calcule a taxa mensal de juros compostos ganha.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Capital inicial (valor presente):
. - Valor final após o período (montante):
. - Tempo da aplicação:
meses.
O que pede: calcular a taxa de juros compostos mensalque faz o capital crescer de para em meses.
Passo 2
Apresentando a fórmula de juros compostos e explicando cada símbolo.
A fórmula padrão de montante em juros compostos é
A fórmula padrão de montante em juros compostos é
onde:
-
é o montante final (o valor que se obtém ao final), -
é o capital inicial (valor aplicado), -
é a taxa de juros por período (no nosso caso, por mês), -
é o número de períodos (número de meses).
Essa fórmula vem da ideia de que, a cada período, o capital é multiplicado por; repetindo isso vezes temos multiplicação por .
Passo 3
Substituindo os valores dados na fórmula e isolando a potência.
Substituindo ,
e
obtemos:
Substituindo
Dividindo ambos os lados por
,
Passo 4
Isolando
— operação de raiz ou uso de logaritmos.
Para encontrar fazemos a raiz 24‑ésima ou usamos logaritmos. Escrevendo a solução exata:
Para encontrar
portanto
Se quisermos um valor numérico prático, aplicamos logaritmo natural às duas partes de
:
Então
Passo 5
Cálculo numérico detalhado (mostrando como aproximar sem pular etapas).
Calcular . Usando tabela ou calculadora vê‑se que
Calcular
Dividindo por
:
Agora precisamos de
. Para entender e aproximar sem pular etapas, podemos usar a expansão em série de
(válida para
pequeno):
Com
temos:
Somando:
Assim
e portanto
Passo 6
Interpretando o resultado e convertendo para porcentagem.
A taxa mensal em forma decimal é aproximadamente
. Para passar a porcentagem multiplicamos por
:
A taxa mensal
Arredondando para duas casas decimais na porcentagem (forma usual), a taxa é aproximadamente
ao mês.