Um investidor está analisando três cenários distintos para um investimento que irá realizar, tendo como capital,
8.500$ para investir. Calcule o montante de cada um dos três cenários que serão analisados, a partir das seguintes taxas de juros compostos e prazos:
a.s. (ao semestre), 48 meses.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (pego os dados do enunciado):
- Capital inicial:
. - Taxa:
ao semestre (escrito como a.s.). - Prazo:
meses.
O enunciado pede o montante resultante em três cenários distintos a partir desses dados. Vou interpretar e calcular três cenários úteis e pedagógicos:
- Cenário A — capitalização semestral, usando exatamente a taxa de
por semestre. - Cenário B — capitalização mensal, convertendo corretamente a taxa semestral
em uma taxa mensal equivalente (a abordagem exata). - Cenário C — capitalização mensal usando a interpretação equivocada, porém comum, de dividir a taxa semestral por
(ou seja, taxa mensal ); faço esse cenário para mostrar a diferença que uma interpretação errada causa.
Observação de conversão de tempo (pego do enunciado):
meses correspondem a
semestres, porque
.
Passo 2
Fórmula e conceito que vamos usar (aula rápida e bem prática).
- Para juros compostos usamos a fórmula
onde:
-
é o montante final (o que queremos), -
é o capital inicial (aqui ), -
é a taxa por período (em forma decimal, ex.: vira ), -
é o número de períodos de capitalização (quantos “saltos” de juros ocorreram).
Explicando devagar: a cada período o capital é multiplicado por. Depois de períodos, aplica-se esse fator vezes, portanto .
Vou aplicar essa fórmula em cada cenário, explicando como escolho
e
.
Passo 3
Cenário A — capitalização semestral (interpretação direta do enunciado).
- Aqui a taxa é
por semestre. - O prazo
meses é semestres, portanto .
Aplicando a fórmula:
Agora calculo passo a passo
:
Portanto
Interpretação rápida: o capital mais que dobrou (fator
) em 8 semestres.
Passo 4
Cenário B — capitalização mensal, conversão correta da taxa semestral para taxa mensal equivalente.
- Ideia: se a taxa é
por semestre (efetiva), a taxa mensal equivalente satisfaz
porque 6 meses formam um semestre. Assim
- Com essa
, ao aplicar por meses obtemos
Mas observe a propriedade das potências:
Ou seja, ao converter corretamente a taxa para mês e capitalizar mensalmente por
meses, o resultado é idêntico ao do Cenário A — a forma de dividir o período não muda o montante se a conversão for feita corretamente. Logo
(Se quiser, a taxa mensal equivalente é aproximadamente
ou
ao mês — mas isso é só para referência; não muda o montante final quando usada corretamente.)
Passo 5
Cenário C — capitalização mensal usando a interpretação comum e equivocada
(ou seja,
ao mês).
- Essa interpretação divide a taxa do semestre de forma linear por 6 e depois capitaliza mensalmente. Embora muito usada por engano, ela dá um resultado diferente porque não preserva a equivalência semestral.
- Aqui temos
por mês e meses. Então
Faço cálculos intermédios para
:
Portanto
Comparação rápida: esse resultado (
) é maior do que o correto (
), mostrando que dividir simplesmente a taxa semestral por 6 e capitalizar mensalmente superestima o montante.
Resposta
Cenário A (capitalização semestral, taxa
a.s.):
Cenário B (capitalização mensal com taxa mensal equivalente):
Cenário C (capitalização mensal com — interpretação equivocada):
Cenário B (capitalização mensal com taxa mensal equivalente):
Cenário C (capitalização mensal com