Um investidor está analisando três cenários distintos para um investimento que irá realizar, tendo como capital, \ 8.500$ para investir. Calcule o montante de cada um dos três cenários que serão analisados, a partir das seguintes taxas de juros compostos e prazos:
12 \% a.s. (ao semestre), 48 meses.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (pego os dados do enunciado):
  • Capital inicial: P=\$8.500.
  • Taxa: 12\% ao semestre (escrito como 12\% a.s.).
  • Prazo: 48 meses.
    O enunciado pede o montante resultante em três cenários distintos a partir desses dados. Vou interpretar e calcular três cenários úteis e pedagógicos:
  1. Cenário A — capitalização semestral, usando exatamente a taxa de 12\% por semestre.
  2. Cenário B — capitalização mensal, convertendo corretamente a taxa semestral 12\% em uma taxa mensal equivalente (a abordagem exata).
  3. Cenário C — capitalização mensal usando a interpretação equivocada, porém comum, de dividir a taxa semestral por 6 (ou seja, taxa mensal =0{,}12/6); faço esse cenário para mostrar a diferença que uma interpretação errada causa.
Observação de conversão de tempo (pego do enunciado): 48 meses correspondem a 8 semestres, porque 48/6=8.

Passo 2

Fórmula e conceito que vamos usar (aula rápida e bem prática).
  • Para juros compostos usamos a fórmula
M = P(1+i)^n,
onde:
  • M é o montante final (o que queremos),
  • P é o capital inicial (aqui P=\$8.500),
  • i é a taxa por período (em forma decimal, ex.: 12\% vira 0{,}12),
  • n é o número de períodos de capitalização (quantos “saltos” de juros ocorreram).
    Explicando devagar: a cada período o capital é multiplicado por (1+i). Depois de n períodos, aplica-se esse fator n vezes, portanto (1+i)^n.
Vou aplicar essa fórmula em cada cenário, explicando como escolho i e n.

Passo 3

Cenário A — capitalização semestral (interpretação direta do enunciado).
  • Aqui a taxa é i=12\%=0{,}12 por semestre.
  • O prazo 48 meses é 8 semestres, portanto n=8.
    Aplicando a fórmula:
M = 8500\,(1{,}12)^8.
Agora calculo passo a passo (1{,}12)^k:
\begin{aligned} (1{,}12)^1 &= 1{,}12,\\\ (1{,}12)^2 &= 1{,}12^2 = 1{,}2544,\\\ (1{,}12)^3 &= 1{,}2544\times1{,}12 = 1{,}404928,\\\ (1{,}12)^4 &= 1{,}404928\times1{,}12 = 1{,}57351936,\\\ (1{,}12)^5 &= 1{,}57351936\times1{,}12 = 1{,}7635416832,\\\ (1{,}12)^6 &= 1{,}7635416832\times1{,}12 = 1{,}975166685184,\\\ (1{,}12)^7 &= 1{,}975166685184\times1{,}12 = 2{,}21218668740608,\\\ (1{,}12)^8 &= 2{,}21218668740608\times1{,}12 = 2{,}4776490898948096. \end{aligned}
Portanto
M = 8500\times 2{,}4776490898948096 \approx 21060{,}02.
Interpretação rápida: o capital mais que dobrou (fator \approx2{,}4776) em 8 semestres.

Passo 4

Cenário B — capitalização mensal, conversão correta da taxa semestral para taxa mensal equivalente.
  • Ideia: se a taxa é 12\% por semestre (efetiva), a taxa mensal equivalente i_m satisfaz
(1+i_m)^6 = 1{,}12,
porque 6 meses formam um semestre. Assim
i_m = (1{,}12)^{1/6}-1.
  • Com essa i_m, ao aplicar por 48 meses obtemos
M = 8500\,(1+i_m)^{48}.
Mas observe a propriedade das potências:
(1+i_m)^{48} = \big((1+i_m)^6\big)^{8} = (1{,}12)^{8}.
Ou seja, ao converter corretamente a taxa para mês e capitalizar mensalmente por 48 meses, o resultado é idêntico ao do Cenário A — a forma de dividir o período não muda o montante se a conversão for feita corretamente. Logo
M = 8500\,(1{,}12)^8 \approx 21060{,}02.
(Se quiser, a taxa mensal equivalente é aproximadamente i_m\approx(1{,}12)^{1/6}-1\approx0{,}019067 ou 1{,}9067\% ao mês — mas isso é só para referência; não muda o montante final quando usada corretamente.)

Passo 5

Cenário C — capitalização mensal usando a interpretação comum e equivocada i_{\text{m,err}}=0{,}12/6=0{,}02 (ou seja, 2\% ao mês).
  • Essa interpretação divide a taxa do semestre de forma linear por 6 e depois capitaliza mensalmente. Embora muito usada por engano, ela dá um resultado diferente porque não preserva a equivalência semestral.
  • Aqui temos i=0{,}02 por mês e n=48 meses. Então
M = 8500\,(1{,}02)^{48}.
Faço cálculos intermédios para (1{,}02)^{48}:
\begin{aligned} (1{,}02)^{12} &\approx 1{,}2682417945625454,\\\ (1{,}02)^{24} &= \big((1{,}02)^{12}\big)^2 \approx 1{,}608437\ldots,\\\ (1{,}02)^{48} &= \big((1{,}02)^{24}\big)^2 \approx 2{,}587071\ldots \end{aligned}
Portanto
M \approx 8500\times 2{,}587071 \approx 21990{,}10.
Comparação rápida: esse resultado ( \approx\$21.990,10) é maior do que o correto ( \approx\$21.060,02), mostrando que dividir simplesmente a taxa semestral por 6 e capitalizar mensalmente superestima o montante.

Resposta

Cenário A (capitalização semestral, taxa 12\% a.s.): M=\$21.060,02
Cenário B (capitalização mensal com taxa mensal equivalente): M=\$21.060,02
Cenário C (capitalização mensal com i_{\text{m}}=0{,}12/6 — interpretação equivocada): M=\$21.990,10

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